Pourquoi les périodes de n/47 en base 11+47n se regroupent elles en cette série ?

1-11-27-15-24-29-37-31-12-38-42-39-6-19-21-43-3-33-34-45-25-40-17===46-36-20-32-23-18-10-16-35-9-5-8-41-28-26-4-44-14-13-2-22-7-30

Calculons 1/47 en base 11+47n (11, 58, 105, ...) :

1/47 en base 11 = 0,0-2-6-3-5-6-8-7-2-8-9-9-1-4-4-10-0-7-7-10-5-9-3===10-8-4-7-5-4-2-3-8-2-1-1-9-6-6-0-10-3-3-0-5-1-7...

1/47 en base 58 = 0,1-13-33-18-29-35-45-38-14-46-51-48-7-23-25-53-3-40-41-55-30-49-20===56-44-24-39-28-22-12-19-43-11-6-9-50-34-32-4-54-17-16-2-27-8-37...

1/47 en base 105 = 0,2-24-60-33-53-64-82-69-26-84-93-87-13-42-46-96-6-73-75-100-55-89-37===102-80-44-71-51-40-22-35-78-20-11-17-91-62-58-8-98-31-29-4-49-15-67...

Et de manière générale en base 11+47n :

[n][2+11n][6+27n][3+15n][5+24n][6+29n][8+37n][7+31n][2+12n][8+38n][9+42n][9+39n][1+6n][4+19n][4+21n][10+43n][3n][7+33n][7+34n][10+45n][5+25n][9+40n][3+17n]===[10+46n][8+36n][4+20n][7+32n][5+23n][4+18n][2+10n][3+16n][8+35n][2+9n][1+5n][1+8n][9+41n][6+28n][6+26n][4n][10+44n][3+14n][3+13n][2n][5+22n][1+7n][7+30n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-27-15-24-29-37-31-12-38-42-39-6-19-21-43-3-33-34-45-25-40-17===46-36-20-32-23-18-10-16-35-9-5-8-41-28-26-4-44-14-13-2-22-7-30

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 30+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 30+47n. La série est alors :

1-30-7-22-2-13-14-44-4-26-28-41-8-5-9-35-16-10-18-23-32-20-36===46-17-40-25-45-34-33-3-43-21-19-6-39-42-38-12-31-37-29-24-15-27-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+47n.

Calculons 1/47 en base : 30, 77, 124, ...(30+47n) :

1/47 en base 30 = 0,0-19-4-14-1-8-8-28-2-16-17-26-5-3-5-22-10-6-11-14-20-12-22===29-10-25-15-28-21-21-1-27-13-12-3-24-26-24-7-19-23-18-15-9-17-7...

1/47 en base 77 = 0,1-49-11-36-3-21-22-72-6-42-45-67-13-8-14-57-26-16-29-37-52-32-58===75-27-65-40-73-55-54-4-70-34-31-9-63-68-62-19-50-60-47-39-24-44-18...

1/47 en base 124 = 0,2-79-18-58-5-34-36-116-10-68-73-108-21-13-23-92-42-26-47-60-84-52-94===121-44-105-65-118-89-87-7-113-55-50-15-102-110-100-31-81-97-76-63-39-71-29...

Et de manière générale en base 30+47n :

[n][19+30n][4+7n][14+22n][1+2n][8+13n][8+14n][28+44n][2+4n][16+26n][17+28n][26+41n][5+8n][3+5n][5+9n][22+35n][10+16n][6+10n][11+18n][14+23n][20+32n][12+20n][22+36n]===[29+46n][10+17n][25+40n][15+25n][28+45n][21+34n][21+33n][1+3n][27+43n][13+21n][12+19n][3+6n][24+39n][26+42n][24+38n][7+12n][19+31n][23+37n][18+29n][15+24n][9+15n][17+27n][7+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-30-7-22-2-13-14-44-4-26-28-41-8-5-9-35-16-10-18-23-32-20-36===46-17-40-25-45-34-33-3-43-21-19-6-39-42-38-12-31-37-29-24-15-27-11

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 30 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+47n.

Constatons que 11x30 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47