Pourquoi les périodes de n/47 en base 13+47n se regroupent elles en cette série ?

1-13-28-35-32-40-3-39-37-11-2-26-9-23-17-33-6-31-27-22-4-5-18===46-34-19-12-15-7-44-8-10-36-45-21-38-24-30-14-41-16-20-25-43-42-29

Calculons 1/47 en base 13+47n (13, 60, 107, ...) :

1/47 en base 13 = 0,0-3-7-9-8-11-0-10-10-3-0-7-2-6-4-9-1-8-7-6-1-1-4===12-9-5-3-4-1-12-2-2-9-12-5-10-6-8-3-11-4-5-6-11-11-8...

1/47 en base 60 = 0,1-16-35-44-40-51-3-49-47-14-2-33-11-29-21-42-7-39-34-28-5-6-22===58-43-24-15-19-8-56-10-12-45-57-26-48-30-38-17-52-20-25-31-54-53-37...

1/47 en base 107 = 0,2-29-63-79-72-91-6-88-84-25-4-59-20-52-38-75-13-70-61-50-9-11-40===104-77-43-27-34-15-100-18-22-81-102-47-86-54-68-31-93-36-45-56-97-95-66...

Et de manière générale en base 13+47n :

[n][3+13n][7+28n][9+35n][8+32n][11+40n][3n][10+39n][10+37n][3+11n][2n][7+26n][2+9n][6+23n][4+17n][9+33n][1+6n][8+31n][7+27n][6+22n][1+4n][1+5n][4+18n]===[12+46n][9+34n][5+19n][3+12n][4+15n][1+7n][12+44n][2+8n][2+10n][9+36n][12+45n][5+21n][10+38n][6+24n][8+30n][3+14n][11+41n][4+16n][5+20n][6+25n][11+43n][11+42n][8+29n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-13-28-35-32-40-3-39-37-11-2-26-9-23-17-33-6-31-27-22-4-5-18===46-34-19-12-15-7-44-8-10-36-45-21-38-24-30-14-41-16-20-25-43-42-29

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 29+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 29+47n. La série est alors :

1-29-42-43-25-20-16-41-14-30-24-38-21-45-36-10-8-44-7-15-12-19-34===46-18-5-4-22-27-31-6-33-17-23-9-26-2-11-37-39-3-40-32-35-28-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+47n.

Calculons 1/47 en base : 29, 76, 123, ...(29+47n) :

1/47 en base 29 = 0,0-17-25-26-15-12-9-25-8-18-14-23-12-27-22-6-4-27-4-9-7-11-20===28-11-3-2-13-16-19-3-20-10-14-5-16-1-6-22-24-1-24-19-21-17-8...

1/47 en base 76 = 0,1-46-67-69-40-32-25-66-22-48-38-61-33-72-58-16-12-71-11-24-19-30-54===74-29-8-6-35-43-50-9-53-27-37-14-42-3-17-59-63-4-64-51-56-45-21...

1/47 en base 123 = 0,2-75-109-112-65-52-41-107-36-78-62-99-54-117-94-26-20-115-18-39-31-49-88===120-47-13-10-57-70-81-15-86-44-60-23-68-5-28-96-102-7-104-83-91-73-34...

Et de manière générale en base 29+47n :

[n][17+29n][25+42n][26+43n][15+25n][12+20n][9+16n][25+41n][8+14n][18+30n][14+24n][23+38n][12+21n][27+45n][22+36n][6+10n][4+8n][27+44n][4+7n][9+15n][7+12n][11+19n][20+34n]===[28+46n][11+18n][3+5n][2+4n][13+22n][16+27n][19+31n][3+6n][20+33n][10+17n][14+23n][5+9n][16+26n][1+2n][6+11n][22+37n][24+39n][1+3n][24+40n][19+32n][21+35n][17+28n][8+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-29-42-43-25-20-16-41-14-30-24-38-21-45-36-10-8-44-7-15-12-19-34===46-18-5-4-22-27-31-6-33-17-23-9-26-2-11-37-39-3-40-32-35-28-13

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 29 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+47n.

Constatons que 13x29 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47