Pourquoi les périodes de n/47 en base 15+47n se regroupent elles en cette série ?

1-15-37-38-6-43-34-40-36-23-16-5-28-44-2-30-27-29-12-39-21-33-25===46-32-10-9-41-4-13-7-11-24-31-42-19-3-45-17-20-18-35-8-26-14-22

Calculons 1/47 en base 15+47n (15, 62, 109, ...) :

1/47 en base 15 = 0,0-4-11-12-1-13-10-12-11-7-5-1-8-14-0-9-8-9-3-12-6-10-7===14-10-3-2-13-1-4-2-3-7-9-13-6-0-14-5-6-5-11-2-8-4-7...

1/47 en base 62 = 0,1-19-48-50-7-56-44-52-47-30-21-6-36-58-2-39-35-38-15-51-27-43-32===60-42-13-11-54-5-17-9-14-31-40-55-25-3-59-22-26-23-46-10-34-18-29...

1/47 en base 109 = 0,2-34-85-88-13-99-78-92-83-53-37-11-64-102-4-69-62-67-27-90-48-76-57===106-74-23-20-95-9-30-16-25-55-71-97-44-6-104-39-46-41-81-18-60-32-51...

Et de manière générale en base 15+47n :

[n][4+15n][11+37n][12+38n][1+6n][13+43n][10+34n][12+40n][11+36n][7+23n][5+16n][1+5n][8+28n][14+44n][2n][9+30n][8+27n][9+29n][3+12n][12+39n][6+21n][10+33n][7+25n]===[14+46n][10+32n][3+10n][2+9n][13+41n][1+4n][4+13n][2+7n][3+11n][7+24n][9+31n][13+42n][6+19n][3n][14+45n][5+17n][6+20n][5+18n][11+35n][2+8n][8+26n][4+14n][7+22n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-15-37-38-6-43-34-40-36-23-16-5-28-44-2-30-27-29-12-39-21-33-25===46-32-10-9-41-4-13-7-11-24-31-42-19-3-45-17-20-18-35-8-26-14-22

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 22+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 22+47n. La série est alors :

1-22-14-26-8-35-18-20-17-45-3-19-42-31-24-11-7-13-4-41-9-10-32===46-25-33-21-39-12-29-27-30-2-44-28-5-16-23-36-40-34-43-6-38-37-15

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 15+47n.

Calculons 1/47 en base : 22, 69, 116, ...(22+47n) :

1/47 en base 22 = 0,0-10-6-12-3-16-8-9-7-21-1-8-19-14-11-5-3-6-1-19-4-4-14===21-11-15-9-18-5-13-12-14-0-20-13-2-7-10-16-18-15-20-2-17-17-7...

1/47 en base 69 = 0,1-32-20-38-11-51-26-29-24-66-4-27-61-45-35-16-10-19-5-60-13-14-46===67-36-48-30-57-17-42-39-44-2-64-41-7-23-33-52-58-49-63-8-55-54-22...

1/47 en base 116 = 0,2-54-34-64-19-86-44-49-41-111-7-46-103-76-59-27-17-32-9-101-22-24-78===113-61-81-51-96-29-71-66-74-4-108-69-12-39-56-88-98-83-106-14-93-91-37...

Et de manière générale en base 22+47n :

[n][10+22n][6+14n][12+26n][3+8n][16+35n][8+18n][9+20n][7+17n][21+45n][1+3n][8+19n][19+42n][14+31n][11+24n][5+11n][3+7n][6+13n][1+4n][19+41n][4+9n][4+10n][14+32n]===[21+46n][11+25n][15+33n][9+21n][18+39n][5+12n][13+29n][12+27n][14+30n][2n][20+44n][13+28n][2+5n][7+16n][10+23n][16+36n][18+40n][15+34n][20+43n][2+6n][17+38n][17+37n][7+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-22-14-26-8-35-18-20-17-45-3-19-42-31-24-11-7-13-4-41-9-10-32===46-25-33-21-39-12-29-27-30-2-44-28-5-16-23-36-40-34-43-6-38-37-15

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 22 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 15+47n.

Constatons que 15x22 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47