Pourquoi les périodes de n/47 en base 20+47n se regroupent elles en cette série ?

1-20-24-10-12-5-6-26-3-13-25-30-36-15-18-31-9-39-28-43-14-45-7===46-27-23-37-35-42-41-21-44-34-22-17-11-32-29-16-38-8-19-4-33-2-40

Calculons 1/47 en base 20+47n (20, 67, 114, ...) :

1/47 en base 20 = 0,0-8-10-4-5-2-2-11-1-5-10-12-15-6-7-13-3-16-11-18-5-19-2===19-11-9-15-14-17-17-8-18-14-9-7-4-13-12-6-16-3-8-1-14-0-17...

1/47 en base 67 = 0,1-28-34-14-17-7-8-37-4-18-35-42-51-21-25-44-12-55-39-61-19-64-9===65-38-32-52-49-59-58-29-62-48-31-24-15-45-41-22-54-11-27-5-47-2-57...

1/47 en base 114 = 0,2-48-58-24-29-12-14-63-7-31-60-72-87-36-43-75-21-94-67-104-33-109-16===111-65-55-89-84-101-99-50-106-82-53-41-26-77-70-38-92-19-46-9-80-4-97...

Et de manière générale en base 20+47n :

[n][8+20n][10+24n][4+10n][5+12n][2+5n][2+6n][11+26n][1+3n][5+13n][10+25n][12+30n][15+36n][6+15n][7+18n][13+31n][3+9n][16+39n][11+28n][18+43n][5+14n][19+45n][2+7n]===[19+46n][11+27n][9+23n][15+37n][14+35n][17+42n][17+41n][8+21n][18+44n][14+34n][9+22n][7+17n][4+11n][13+32n][12+29n][6+16n][16+38n][3+8n][8+19n][1+4n][14+33n][2n][17+40n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-20-24-10-12-5-6-26-3-13-25-30-36-15-18-31-9-39-28-43-14-45-7===46-27-23-37-35-42-41-21-44-34-22-17-11-32-29-16-38-8-19-4-33-2-40

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 40+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 40+47n. La série est alors :

1-40-2-33-4-19-8-38-16-29-32-11-17-22-34-44-21-41-42-35-37-23-27===46-7-45-14-43-28-39-9-31-18-15-36-30-25-13-3-26-6-5-12-10-24-20

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 20+47n.

Calculons 1/47 en base : 40, 87, 134, ...(40+47n) :

1/47 en base 40 = 0,0-34-1-28-3-16-6-32-13-24-27-9-14-18-28-37-17-34-35-29-31-19-22===39-5-38-11-36-23-33-7-26-15-12-30-25-21-11-2-22-5-4-10-8-20-17...

1/47 en base 87 = 0,1-74-3-61-7-35-14-70-29-53-59-20-31-40-62-81-38-75-77-64-68-42-49===85-12-83-25-79-51-72-16-57-33-27-66-55-46-24-5-48-11-9-22-18-44-37...

1/47 en base 134 = 0,2-114-5-94-11-54-22-108-45-82-91-31-48-62-96-125-59-116-119-99-105-65-76===131-19-128-39-122-79-111-25-88-51-42-102-85-71-37-8-74-17-14-34-28-68-57...

Et de manière générale en base 40+47n :

[n][34+40n][1+2n][28+33n][3+4n][16+19n][6+8n][32+38n][13+16n][24+29n][27+32n][9+11n][14+17n][18+22n][28+34n][37+44n][17+21n][34+41n][35+42n][29+35n][31+37n][19+23n][22+27n]===[39+46n][5+7n][38+45n][11+14n][36+43n][23+28n][33+39n][7+9n][26+31n][15+18n][12+15n][30+36n][25+30n][21+25n][11+13n][2+3n][22+26n][5+6n][4+5n][10+12n][8+10n][20+24n][17+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-40-2-33-4-19-8-38-16-29-32-11-17-22-34-44-21-41-42-35-37-23-27===46-7-45-14-43-28-39-9-31-18-15-36-30-25-13-3-26-6-5-12-10-24-20

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 40 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 20+47n.

Constatons que 20x40 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47