Pourquoi les périodes de n/47 en base 23+47n se regroupent elles en cette série ?

1-23-12-41-3-22-36-29-9-19-14-40-27-10-42-26-34-30-32-31-8-43-2===46-24-35-6-44-25-11-18-38-28-33-7-20-37-5-21-13-17-15-16-39-4-45

Calculons 1/47 en base 23+47n (23, 70, 117, ...) :

1/47 en base 23 = 0,0-11-5-20-1-10-17-14-4-9-6-19-13-4-20-12-16-14-15-15-3-21-0===22-11-17-2-21-12-5-8-18-13-16-3-9-18-2-10-6-8-7-7-19-1-22...

1/47 en base 70 = 0,1-34-17-61-4-32-53-43-13-28-20-59-40-14-62-38-50-44-47-46-11-64-2===68-35-52-8-65-37-16-26-56-41-49-10-29-55-7-31-19-25-22-23-58-5-67...

1/47 en base 117 = 0,2-57-29-102-7-54-89-72-22-47-34-99-67-24-104-64-84-74-79-77-19-107-4===114-59-87-14-109-62-27-44-94-69-82-17-49-92-12-52-32-42-37-39-97-9-112...

Et de manière générale en base 23+47n :

[n][11+23n][5+12n][20+41n][1+3n][10+22n][17+36n][14+29n][4+9n][9+19n][6+14n][19+40n][13+27n][4+10n][20+42n][12+26n][16+34n][14+30n][15+32n][15+31n][3+8n][21+43n][2n]===[22+46n][11+24n][17+35n][2+6n][21+44n][12+25n][5+11n][8+18n][18+38n][13+28n][16+33n][3+7n][9+20n][18+37n][2+5n][10+21n][6+13n][8+17n][7+15n][7+16n][19+39n][1+4n][22+45n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-23-12-41-3-22-36-29-9-19-14-40-27-10-42-26-34-30-32-31-8-43-2===46-24-35-6-44-25-11-18-38-28-33-7-20-37-5-21-13-17-15-16-39-4-45

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 23 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 45+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 45+47n. La série est alors :

1-45-4-39-16-15-17-13-21-5-37-20-7-33-28-38-18-11-25-44-6-35-24===46-2-43-8-31-32-30-34-26-42-10-27-40-14-19-9-29-36-22-3-41-12-23

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 23+47n.

Calculons 1/47 en base : 45, 92, 139, ...(45+47n) :

1/47 en base 45 = 0,0-43-3-37-15-14-16-12-20-4-35-19-6-31-26-36-17-10-23-42-5-33-22===44-1-41-7-29-30-28-32-24-40-9-25-38-13-18-8-27-34-21-2-39-11-22...

1/47 en base 92 = 0,1-88-7-76-31-29-33-25-41-9-72-39-13-64-54-74-35-21-48-86-11-68-46===90-3-84-15-60-62-58-66-50-82-19-52-78-27-37-17-56-70-43-5-80-23-45...

1/47 en base 139 = 0,2-133-11-115-47-44-50-38-62-14-109-59-20-97-82-112-53-32-73-130-17-103-70===136-5-127-23-91-94-88-100-76-124-29-79-118-41-56-26-85-106-65-8-121-35-68...

Et de manière générale en base 45+47n :

[n][43+45n][3+4n][37+39n][15+16n][14+15n][16+17n][12+13n][20+21n][4+5n][35+37n][19+20n][6+7n][31+33n][26+28n][36+38n][17+18n][10+11n][23+25n][42+44n][5+6n][33+35n][22+24n]===[44+46n][1+2n][41+43n][7+8n][29+31n][30+32n][28+30n][32+34n][24+26n][40+42n][9+10n][25+27n][38+40n][13+14n][18+19n][8+9n][27+29n][34+36n][21+22n][2+3n][39+41n][11+12n][22+23n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-45-4-39-16-15-17-13-21-5-37-20-7-33-28-38-18-11-25-44-6-35-24===46-2-43-8-31-32-30-34-26-42-10-27-40-14-19-9-29-36-22-3-41-12-23

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 45 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 23+47n.

Constatons que 23x45 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47