Pourquoi les périodes de n/47 en base 26+47n se regroupent elles en cette série ?

1-26-18-45-42-11-4-10-25-39-27-44-16-40-6-15-14-35-17-19-24-13-9===46-21-29-2-5-36-43-37-22-8-20-3-31-7-41-32-33-12-30-28-23-34-38

Calculons 1/47 en base 26+47n (26, 73, 120, ...) :

1/47 en base 26 = 0,0-14-9-24-23-6-2-5-13-21-14-24-8-22-3-8-7-19-9-10-13-7-4===25-11-16-1-2-19-23-20-12-4-11-1-17-3-22-17-18-6-16-15-12-18-21...

1/47 en base 73 = 0,1-40-27-69-65-17-6-15-38-60-41-68-24-62-9-23-21-54-26-29-37-20-13===71-32-45-3-7-55-66-57-34-12-31-4-48-10-63-49-51-18-46-43-35-52-59...

1/47 en base 120 = 0,2-66-45-114-107-28-10-25-63-99-68-112-40-102-15-38-35-89-43-48-61-33-22===117-53-74-5-12-91-109-94-56-20-51-7-79-17-104-81-84-30-76-71-58-86-97...

Et de manière générale en base 26+47n :

[n][14+26n][9+18n][24+45n][23+42n][6+11n][2+4n][5+10n][13+25n][21+39n][14+27n][24+44n][8+16n][22+40n][3+6n][8+15n][7+14n][19+35n][9+17n][10+19n][13+24n][7+13n][4+9n]===[25+46n][11+21n][16+29n][1+2n][2+5n][19+36n][23+43n][20+37n][12+22n][4+8n][11+20n][1+3n][17+31n][3+7n][22+41n][17+32n][18+33n][6+12n][16+30n][15+28n][12+23n][18+34n][21+38n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-26-18-45-42-11-4-10-25-39-27-44-16-40-6-15-14-35-17-19-24-13-9===46-21-29-2-5-36-43-37-22-8-20-3-31-7-41-32-33-12-30-28-23-34-38

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 38+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 38+47n. La série est alors :

1-38-34-23-28-30-12-33-32-41-7-31-3-20-8-22-37-43-36-5-2-29-21===46-9-13-24-19-17-35-14-15-6-40-16-44-27-39-25-10-4-11-42-45-18-26

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 26+47n.

Calculons 1/47 en base : 38, 85, 132, ...(38+47n) :

1/47 en base 38 = 0,0-30-27-18-22-24-9-26-25-33-5-25-2-16-6-17-29-34-29-4-1-23-16===37-7-10-19-15-13-28-11-12-4-32-12-35-21-31-20-8-3-8-33-36-14-21...

1/47 en base 85 = 0,1-68-61-41-50-54-21-59-57-74-12-56-5-36-14-39-66-77-65-9-3-52-37===83-16-23-43-34-30-63-25-27-10-72-28-79-48-70-45-18-7-19-75-81-32-47...

1/47 en base 132 = 0,2-106-95-64-78-84-33-92-89-115-19-87-8-56-22-61-103-120-101-14-5-81-58===129-25-36-67-53-47-98-39-42-16-112-44-123-75-109-70-28-11-30-117-126-50-73...

Et de manière générale en base 38+47n :

[n][30+38n][27+34n][18+23n][22+28n][24+30n][9+12n][26+33n][25+32n][33+41n][5+7n][25+31n][2+3n][16+20n][6+8n][17+22n][29+37n][34+43n][29+36n][4+5n][1+2n][23+29n][16+21n]===[37+46n][7+9n][10+13n][19+24n][15+19n][13+17n][28+35n][11+14n][12+15n][4+6n][32+40n][12+16n][35+44n][21+27n][31+39n][20+25n][8+10n][3+4n][8+11n][33+42n][36+45n][14+18n][21+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-38-34-23-28-30-12-33-32-41-7-31-3-20-8-22-37-43-36-5-2-29-21===46-9-13-24-19-17-35-14-15-6-40-16-44-27-39-25-10-4-11-42-45-18-26

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 38 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 26+47n.

Constatons que 26x38 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47