Pourquoi les périodes de n/47 en base 31+47n se regroupent elles en cette série ?

1-31-21-40-18-41-2-15-42-33-36-35-4-30-37-19-25-23-8-13-27-38-3===46-16-26-7-29-6-45-32-5-14-11-12-43-17-10-28-22-24-39-34-20-9-44

Calculons 1/47 en base 31+47n (31, 78, 125, ...) :

1/47 en base 31 = 0,0-20-13-26-11-27-1-9-27-21-23-23-2-19-24-12-16-15-5-8-17-25-1===30-10-17-4-19-3-29-21-3-9-7-7-28-11-6-18-14-15-25-22-13-5-29...

1/47 en base 78 = 0,1-51-34-66-29-68-3-24-69-54-59-58-6-49-61-31-41-38-13-21-44-63-4===76-26-43-11-48-9-74-53-8-23-18-19-71-28-16-46-36-39-64-56-33-14-73...

1/47 en base 125 = 0,2-82-55-106-47-109-5-39-111-87-95-93-10-79-98-50-66-61-21-34-71-101-7===122-42-69-18-77-15-119-85-13-37-29-31-114-45-26-74-58-63-103-90-53-23-117...

Et de manière générale en base 31+47n :

[n][20+31n][13+21n][26+40n][11+18n][27+41n][1+2n][9+15n][27+42n][21+33n][23+36n][23+35n][2+4n][19+30n][24+37n][12+19n][16+25n][15+23n][5+8n][8+13n][17+27n][25+38n][1+3n]===[30+46n][10+16n][17+26n][4+7n][19+29n][3+6n][29+45n][21+32n][3+5n][9+14n][7+11n][7+12n][28+43n][11+17n][6+10n][18+28n][14+22n][15+24n][25+39n][22+34n][13+20n][5+9n][29+44n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-31-21-40-18-41-2-15-42-33-36-35-4-30-37-19-25-23-8-13-27-38-3===46-16-26-7-29-6-45-32-5-14-11-12-43-17-10-28-22-24-39-34-20-9-44

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 31 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 44+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 44+47n. La série est alors :

1-44-9-20-34-39-24-22-28-10-17-43-12-11-14-5-32-45-6-29-7-26-16===46-3-38-27-13-8-23-25-19-37-30-4-35-36-33-42-15-2-41-18-40-21-31

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 31+47n.

Calculons 1/47 en base : 44, 91, 138, ...(44+47n) :

1/47 en base 44 = 0,0-41-8-18-31-36-22-20-26-9-15-40-11-10-13-4-29-42-5-27-6-24-14===43-2-35-25-12-7-21-23-17-34-28-3-32-33-30-39-14-1-38-16-37-19-29...

1/47 en base 91 = 0,1-85-17-38-65-75-46-42-54-19-32-83-23-21-27-9-61-87-11-56-13-50-30===89-5-73-52-25-15-44-48-36-71-58-7-67-69-63-81-29-3-79-34-77-40-60...

1/47 en base 138 = 0,2-129-26-58-99-114-70-64-82-29-49-126-35-32-41-14-93-132-17-85-20-76-46===135-8-111-79-38-23-67-73-55-108-88-11-102-105-96-123-44-5-120-52-117-61-91...

Et de manière générale en base 44+47n :

[n][41+44n][8+9n][18+20n][31+34n][36+39n][22+24n][20+22n][26+28n][9+10n][15+17n][40+43n][11+12n][10+11n][13+14n][4+5n][29+32n][42+45n][5+6n][27+29n][6+7n][24+26n][14+16n]===[43+46n][2+3n][35+38n][25+27n][12+13n][7+8n][21+23n][23+25n][17+19n][34+37n][28+30n][3+4n][32+35n][33+36n][30+33n][39+42n][14+15n][1+2n][38+41n][16+18n][37+40n][19+21n][29+31n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-44-9-20-34-39-24-22-28-10-17-43-12-11-14-5-32-45-6-29-7-26-16===46-3-38-27-13-8-23-25-19-37-30-4-35-36-33-42-15-2-41-18-40-21-31

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 44 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 31+47n.

Constatons que 31x44 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47