Pourquoi les périodes de n/47 en base 35+47n se regroupent elles en cette série ?

1-35-3-11-9-33-27-5-34-15-8-45-24-41-25-29-28-40-37-26-17-31-4===46-12-44-36-38-14-20-42-13-32-39-2-23-6-22-18-19-7-10-21-30-16-43

Calculons 1/47 en base 35+47n (35, 82, 129, ...) :

1/47 en base 35 = 0,0-26-2-8-6-24-20-3-25-11-5-33-17-30-18-21-20-29-27-19-12-23-2===34-8-32-26-28-10-14-31-9-23-29-1-17-4-16-13-14-5-7-15-22-11-32...

1/47 en base 82 = 0,1-61-5-19-15-57-47-8-59-26-13-78-41-71-43-50-48-69-64-45-29-54-6===80-20-76-62-66-24-34-73-22-55-68-3-40-10-38-31-33-12-17-36-52-27-75...

1/47 en base 129 = 0,2-96-8-30-24-90-74-13-93-41-21-123-65-112-68-79-76-109-101-71-46-85-10===126-32-120-98-104-38-54-115-35-87-107-5-63-16-60-49-52-19-27-57-82-43-118...

Et de manière générale en base 35+47n :

[n][26+35n][2+3n][8+11n][6+9n][24+33n][20+27n][3+5n][25+34n][11+15n][5+8n][33+45n][17+24n][30+41n][18+25n][21+29n][20+28n][29+40n][27+37n][19+26n][12+17n][23+31n][2+4n]===[34+46n][8+12n][32+44n][26+36n][28+38n][10+14n][14+20n][31+42n][9+13n][23+32n][29+39n][1+2n][17+23n][4+6n][16+22n][13+18n][14+19n][5+7n][7+10n][15+21n][22+30n][11+16n][32+43n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-35-3-11-9-33-27-5-34-15-8-45-24-41-25-29-28-40-37-26-17-31-4===46-12-44-36-38-14-20-42-13-32-39-2-23-6-22-18-19-7-10-21-30-16-43

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 43+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 43+47n. La série est alors :

1-43-16-30-21-10-7-19-18-22-6-23-2-39-32-13-42-20-14-38-36-44-12===46-4-31-17-26-37-40-28-29-25-41-24-45-8-15-34-5-27-33-9-11-3-35

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 35+47n.

Calculons 1/47 en base : 43, 90, 137, ...(43+47n) :

1/47 en base 43 = 0,0-39-14-27-19-9-6-17-16-20-5-21-1-35-29-11-38-18-12-34-32-40-10===42-3-28-15-23-33-36-25-26-22-37-21-41-7-13-31-4-24-30-8-10-2-32...

1/47 en base 90 = 0,1-82-30-57-40-19-13-36-34-42-11-44-3-74-61-24-80-38-26-72-68-84-22===88-7-59-32-49-70-76-53-55-47-78-45-86-15-28-65-9-51-63-17-21-5-67...

1/47 en base 137 = 0,2-125-46-87-61-29-20-55-52-64-17-67-5-113-93-37-122-58-40-110-104-128-34===134-11-90-49-75-107-116-81-84-72-119-69-131-23-43-99-14-78-96-26-32-8-102...

Et de manière générale en base 43+47n :

[n][39+43n][14+16n][27+30n][19+21n][9+10n][6+7n][17+19n][16+18n][20+22n][5+6n][21+23n][1+2n][35+39n][29+32n][11+13n][38+42n][18+20n][12+14n][34+38n][32+36n][40+44n][10+12n]===[42+46n][3+4n][28+31n][15+17n][23+26n][33+37n][36+40n][25+28n][26+29n][22+25n][37+41n][21+24n][41+45n][7+8n][13+15n][31+34n][4+5n][24+27n][30+33n][8+9n][10+11n][2+3n][32+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-43-16-30-21-10-7-19-18-22-6-23-2-39-32-13-42-20-14-38-36-44-12===46-4-31-17-26-37-40-28-29-25-41-24-45-8-15-34-5-27-33-9-11-3-35

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 43 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 35+47n.

Constatons que 35x43 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47