Pourquoi les périodes de n/47 en base 39+47n se regroupent elles en cette série ?

1-39-17-5-7-38-25-35-2-31-34-10-14-29-3-23-4-15-21-20-28-11-6===46-8-30-42-40-9-22-12-45-16-13-37-33-18-44-24-43-32-26-27-19-36-41

Calculons 1/47 en base 39+47n (39, 86, 133, ...) :

1/47 en base 39 = 0,0-32-14-4-5-31-20-29-1-25-28-8-11-24-2-19-3-12-17-16-23-9-4===38-6-24-34-33-7-18-9-37-13-10-30-27-14-36-19-35-26-21-22-15-29-34...

1/47 en base 86 = 0,1-71-31-9-12-69-45-64-3-56-62-18-25-53-5-42-7-27-38-36-51-20-10===84-14-54-76-73-16-40-21-82-29-23-67-60-32-80-43-78-58-47-49-34-65-75...

1/47 en base 133 = 0,2-110-48-14-19-107-70-99-5-87-96-28-39-82-8-65-11-42-59-56-79-31-16===130-22-84-118-113-25-62-33-127-45-36-104-93-50-124-67-121-90-73-76-53-101-116...

Et de manière générale en base 39+47n :

[n][32+39n][14+17n][4+5n][5+7n][31+38n][20+25n][29+35n][1+2n][25+31n][28+34n][8+10n][11+14n][24+29n][2+3n][19+23n][3+4n][12+15n][17+21n][16+20n][23+28n][9+11n][4+6n]===[38+46n][6+8n][24+30n][34+42n][33+40n][7+9n][18+22n][9+12n][37+45n][13+16n][10+13n][30+37n][27+33n][14+18n][36+44n][19+24n][35+43n][26+32n][21+26n][22+27n][15+19n][29+36n][34+41n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-39-17-5-7-38-25-35-2-31-34-10-14-29-3-23-4-15-21-20-28-11-6===46-8-30-42-40-9-22-12-45-16-13-37-33-18-44-24-43-32-26-27-19-36-41

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 39 modulo 47 

Calcul de 1/47 en base 41+47n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 41+47n. La série est alors :

1-41-36-19-27-26-32-43-24-44-18-33-37-13-16-45-12-22-9-40-42-30-8===46-6-11-28-20-21-15-4-23-3-29-14-10-34-31-2-35-25-38-7-5-17-39

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 39+47n.

Calculons 1/47 en base : 41, 88, 135, ...(41+47n) :

1/47 en base 41 = 0,0-35-31-16-23-22-27-37-20-38-15-28-32-11-13-39-10-19-7-34-36-26-6===40-5-9-24-17-18-13-3-20-2-25-12-8-29-27-1-30-21-33-6-4-14-34...

1/47 en base 88 = 0,1-76-67-35-50-48-59-80-44-82-33-61-69-24-29-84-22-41-16-74-78-56-14===86-11-20-52-37-39-28-7-43-5-54-26-18-63-58-3-65-46-71-13-9-31-73...

1/47 en base 135 = 0,2-117-103-54-77-74-91-123-68-126-51-94-106-37-45-129-34-63-25-114-120-86-22===132-17-31-80-57-60-43-11-66-8-83-40-28-97-89-5-100-71-109-20-14-48-112...

Et de manière générale en base 41+47n :

[n][35+41n][31+36n][16+19n][23+27n][22+26n][27+32n][37+43n][20+24n][38+44n][15+18n][28+33n][32+37n][11+13n][13+16n][39+45n][10+12n][19+22n][7+9n][34+40n][36+42n][26+30n][6+8n]===[40+46n][5+6n][9+11n][24+28n][17+20n][18+21n][13+15n][3+4n][20+23n][2+3n][25+29n][12+14n][8+10n][29+34n][27+31n][1+2n][30+35n][21+25n][33+38n][6+7n][4+5n][14+17n][34+39n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-41-36-19-27-26-32-43-24-44-18-33-37-13-16-45-12-22-9-40-42-30-8===46-6-11-28-20-21-15-4-23-3-29-14-10-34-31-2-35-25-38-7-5-17-39

Qui partage le cercle en 47 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 41 modulo 47 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 39+47n.

Constatons que 39x41 admet 1 pour reste dans la division par 47 et qu'ils sont alors inverses dans Z47