Pourquoi les périodes de n/53 en base 2+53n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-16-32-11-22-44-35-17-34-15-30-7-14-28-3-6-12-24-48-43-33-13-26===52-51-49-45-37-21-42-31-9-18-36-19-38-23-46-39-25-50-47-41-29-5-10-20-40-27

Calculons 1/53 en base 2+53n (2, 55, 108, ...) :

1/53 en base 2 = 0,00000100110101001000011100===11111011001010110111100011...

1/53 en base 55 = 0,1-2-4-8-16-33-11-22-45-36-17-35-15-31-7-14-29-3-6-12-24-49-44-34-13-26===53-52-50-46-38-21-43-32-9-18-37-19-39-23-47-40-25-51-48-42-30-5-10-20-41-28...

1/53 en base 108 = 0,2-4-8-16-32-65-22-44-89-71-34-69-30-61-14-28-57-6-12-24-48-97-87-67-26-52===105-103-99-91-75-42-85-63-18-36-73-38-77-46-93-79-50-101-95-83-59-10-20-40-81-55...

Et de manière générale en base 2+53n :

[n][2n][4n][8n][16n][1+32n][11n][22n][1+44n][1+35n][17n][1+34n][15n][1+30n][7n][14n][1+28n][3n][6n][12n][24n][1+48n][1+43n][1+33n][13n][26n]===[1+52n][1+51n][1+49n][1+45n][1+37n][21n][1+42n][1+31n][9n][18n][1+36n][19n][1+38n][23n][1+46n][1+39n][25n][1+50n][1+47n][1+41n][1+29n][5n][10n][20n][1+40n][1+27n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-2-4-8-16-32-11-22-44-35-17-34-15-30-7-14-28-3-6-12-24-48-43-33-13-26===52-51-49-45-37-21-42-31-9-18-36-19-38-23-46-39-25-50-47-41-29-5-10-20-40-27

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 27+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 27+53n. La série est alors :

1-27-40-20-10-5-29-41-47-50-25-39-46-23-38-19-36-18-9-31-42-21-37-45-49-51===52-26-13-33-43-48-24-12-6-3-28-14-7-30-15-34-17-35-44-22-11-32-16-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+53n.

Calculons 1/53 en base : 27, 80, 133, ...(27+53n) :

1/53 en base 27 = 0,0-13-20-10-5-2-14-20-23-25-12-19-23-11-19-9-18-9-4-15-21-10-18-22-24-25===26-13-6-16-21-24-12-6-3-1-14-7-3-15-7-17-8-17-22-11-5-16-8-4-2-1...

1/53 en base 80 = 0,1-40-60-30-15-7-43-61-70-75-37-58-69-34-57-28-54-27-13-46-63-31-55-67-73-76===78-39-19-49-64-72-36-18-9-4-42-21-10-45-22-51-25-52-66-33-16-48-24-12-6-3...

1/53 en base 133 = 0,2-67-100-50-25-12-72-102-117-125-62-97-115-57-95-47-90-45-22-77-105-52-92-112-122-127===130-65-32-82-107-120-60-30-15-7-70-35-17-75-37-85-42-87-110-55-27-80-40-20-10-5...

Et de manière générale en base 27+53n :

[n][13+27n][20+40n][10+20n][5+10n][2+5n][14+29n][20+41n][23+47n][25+50n][12+25n][19+39n][23+46n][11+23n][19+38n][9+19n][18+36n][9+18n][4+9n][15+31n][21+42n][10+21n][18+37n][22+45n][24+49n][25+51n]===[26+52n][13+26n][6+13n][16+33n][21+43n][24+48n][12+24n][6+12n][3+6n][1+3n][14+28n][7+14n][3+7n][15+30n][7+15n][17+34n][8+17n][17+35n][22+44n][11+22n][5+11n][16+32n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-27-40-20-10-5-29-41-47-50-25-39-46-23-38-19-36-18-9-31-42-21-37-45-49-51===52-26-13-33-43-48-24-12-6-3-28-14-7-30-15-34-17-35-44-22-11-32-16-8-4-2

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 27 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+53n.

Constatons que 2x27 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53