Pourquoi les périodes de n/53 en base 3+53n se regroupent elles en cette série ?

1-3-9-27-28-31-40-14-42-20-7-21-10-30-37-5-15-45-29-34-49-41-17-51-47-35===52-50-44-26-25-22-13-39-11-33-46-32-43-23-16-48-38-8-24-19-4-12-36-2-6-18

Calculons 1/53 en base 3+53n (3, 56, 109, ...) :

1/53 en base 3 = 0,00011120210101200211220221===22211102012121022011002001...

1/53 en base 56 = 0,1-3-9-28-29-32-42-14-44-21-7-22-10-31-39-5-15-47-30-35-51-43-17-53-49-36===54-52-46-27-26-23-13-41-11-34-48-33-45-24-16-50-40-8-25-20-4-12-38-2-6-19...

1/53 en base 109 = 0,2-6-18-55-57-63-82-28-86-41-14-43-20-61-76-10-30-92-59-69-100-84-34-104-96-71===106-102-90-53-51-45-26-80-22-67-94-65-88-47-32-98-78-16-49-39-8-24-74-4-12-37...

Et de manière générale en base 3+53n :

[n][3n][9n][1+27n][1+28n][1+31n][2+40n][14n][2+42n][1+20n][7n][1+21n][10n][1+30n][2+37n][5n][15n][2+45n][1+29n][1+34n][2+49n][2+41n][17n][2+51n][2+47n][1+35n]===[2+52n][2+50n][2+44n][1+26n][1+25n][1+22n][13n][2+39n][11n][1+33n][2+46n][1+32n][2+43n][1+23n][16n][2+48n][2+38n][8n][1+24n][1+19n][4n][12n][2+36n][2n][6n][1+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-3-9-27-28-31-40-14-42-20-7-21-10-30-37-5-15-45-29-34-49-41-17-51-47-35===52-50-44-26-25-22-13-39-11-33-46-32-43-23-16-48-38-8-24-19-4-12-36-2-6-18

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 18+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 18+53n. La série est alors :

1-18-6-2-36-12-4-19-24-8-38-48-16-23-43-32-46-33-11-39-13-22-25-26-44-50===52-35-47-51-17-41-49-34-29-45-15-5-37-30-10-21-7-20-42-14-40-31-28-27-9-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+53n.

Calculons 1/53 en base : 18, 71, 124, ...(18+53n) :

1/53 en base 18 = 0,0-6-2-0-12-4-1-6-8-2-12-16-5-7-14-10-15-11-3-13-4-7-8-8-14-16===17-11-15-17-5-13-16-11-9-15-5-1-12-10-3-7-2-6-14-4-13-10-9-9-3-1...

1/53 en base 71 = 0,1-24-8-2-48-16-5-25-32-10-50-64-21-30-57-42-61-44-14-52-17-29-33-34-58-66===69-46-62-68-22-54-65-45-38-60-20-6-49-40-13-28-9-26-56-18-53-41-37-36-12-4...

1/53 en base 124 = 0,2-42-14-4-84-28-9-44-56-18-88-112-37-53-100-74-107-77-25-91-30-51-58-60-102-116===121-81-109-119-39-95-114-79-67-105-35-11-86-70-23-49-16-46-98-32-93-72-65-63-21-7...

Et de manière générale en base 18+53n :

[n][6+18n][2+6n][2n][12+36n][4+12n][1+4n][6+19n][8+24n][2+8n][12+38n][16+48n][5+16n][7+23n][14+43n][10+32n][15+46n][11+33n][3+11n][13+39n][4+13n][7+22n][8+25n][8+26n][14+44n][16+50n]===[17+52n][11+35n][15+47n][17+51n][5+17n][13+41n][16+49n][11+34n][9+29n][15+45n][5+15n][1+5n][12+37n][10+30n][3+10n][7+21n][2+7n][6+20n][14+42n][4+14n][13+40n][10+31n][9+28n][9+27n][3+9n][1+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-18-6-2-36-12-4-19-24-8-38-48-16-23-43-32-46-33-11-39-13-22-25-26-44-50===52-35-47-51-17-41-49-34-29-45-15-5-37-30-10-21-7-20-42-14-40-31-28-27-9-3

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+53n.

Constatons que 3x18 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53