Pourquoi les périodes de n/53 en base 5+53n se regroupent elles en cette série ?

1-5-25-19-42-51-43-3-15-22-4-20-47-23-9-45-13-12-7-35-16-27-29-39-36-21===52-48-28-34-11-2-10-50-38-31-49-33-6-30-44-8-40-41-46-18-37-26-24-14-17-32

Calculons 1/53 en base 5+53n (5, 58, 111, ...) :

1/53 en base 5 = 0,00213440120142041103122331===44231004324302403341322113...

1/53 en base 58 = 0,1-5-27-20-45-55-47-3-16-24-4-21-51-25-9-49-14-13-7-38-17-29-31-42-39-22===56-52-30-37-12-2-10-54-41-33-53-36-6-32-48-8-43-44-50-19-40-28-26-15-18-35...

1/53 en base 111 = 0,2-10-52-39-87-106-90-6-31-46-8-41-98-48-18-94-27-25-14-73-33-56-60-81-75-43===108-100-58-71-23-4-20-104-79-64-102-69-12-62-92-16-83-85-96-37-77-54-50-29-35-67...

Et de manière générale en base 5+53n :

[n][5n][2+25n][1+19n][3+42n][4+51n][4+43n][3n][1+15n][2+22n][4n][1+20n][4+47n][2+23n][9n][4+45n][1+13n][1+12n][7n][3+35n][1+16n][2+27n][2+29n][3+39n][3+36n][1+21n]===[4+52n][4+48n][2+28n][3+34n][1+11n][2n][10n][4+50n][3+38n][2+31n][4+49n][3+33n][6n][2+30n][4+44n][8n][3+40n][3+41n][4+46n][1+18n][3+37n][2+26n][2+24n][1+14n][1+17n][3+32n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-5-25-19-42-51-43-3-15-22-4-20-47-23-9-45-13-12-7-35-16-27-29-39-36-21===52-48-28-34-11-2-10-50-38-31-49-33-6-30-44-8-40-41-46-18-37-26-24-14-17-32

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 32+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 32+53n. La série est alors :

1-32-17-14-24-26-37-18-46-41-40-8-44-30-6-33-49-31-38-50-10-2-11-34-28-48===52-21-36-39-29-27-16-35-7-12-13-45-9-23-47-20-4-22-15-3-43-51-42-19-25-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+53n.

Calculons 1/53 en base : 32, 85, 138, ...(32+53n) :

1/53 en base 32 = 0,0-19-10-8-14-15-22-10-27-24-24-4-26-18-3-19-29-18-22-30-6-1-6-20-16-28===31-12-21-23-17-16-9-21-4-7-7-27-5-13-28-12-2-13-9-1-25-30-25-11-15-3...

1/53 en base 85 = 0,1-51-27-22-38-41-59-28-73-65-64-12-70-48-9-52-78-49-60-80-16-3-17-54-44-76===83-33-57-62-46-43-25-56-11-19-20-72-14-36-75-32-6-35-24-4-68-81-67-30-40-8...

1/53 en base 138 = 0,2-83-44-36-62-67-96-46-119-106-104-20-114-78-15-85-127-80-98-130-26-5-28-88-72-124===135-54-93-101-75-70-41-91-18-31-33-117-23-59-122-52-10-57-39-7-111-132-109-49-65-13...

Et de manière générale en base 32+53n :

[n][19+32n][10+17n][8+14n][14+24n][15+26n][22+37n][10+18n][27+46n][24+41n][24+40n][4+8n][26+44n][18+30n][3+6n][19+33n][29+49n][18+31n][22+38n][30+50n][6+10n][1+2n][6+11n][20+34n][16+28n][28+48n]===[31+52n][12+21n][21+36n][23+39n][17+29n][16+27n][9+16n][21+35n][4+7n][7+12n][7+13n][27+45n][5+9n][13+23n][28+47n][12+20n][2+4n][13+22n][9+15n][1+3n][25+43n][30+51n][25+42n][11+19n][15+25n][3+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-32-17-14-24-26-37-18-46-41-40-8-44-30-6-33-49-31-38-50-10-2-11-34-28-48===52-21-36-39-29-27-16-35-7-12-13-45-9-23-47-20-4-22-15-3-43-51-42-19-25-5

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 32 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+53n.

Constatons que 5x32 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53