Pourquoi les périodes de n/53 en base 8+53n se regroupent elles en cette série ?

1-8-11-35-15-14-6-48-13-51-37-31-36-23-25-41-10-27-4-32-44-34-7-3-24-33===52-45-42-18-38-39-47-5-40-2-16-22-17-30-28-12-43-26-49-21-9-19-46-50-29-20

Calculons 1/53 en base 8+53n (8, 61, 114, ...) :

1/53 en base 8 = 0,01152207175453361404651034===76625570602324416373126743...

1/53 en base 61 = 0,1-9-12-40-17-16-6-55-14-58-42-35-41-26-28-47-11-31-4-36-50-39-8-3-27-37===59-51-48-20-43-44-54-5-46-2-18-25-19-34-32-13-49-29-56-24-10-21-52-57-33-23...

1/53 en base 114 = 0,2-17-23-75-32-30-12-103-27-109-79-66-77-49-53-88-21-58-8-68-94-73-15-6-51-70===111-96-90-38-81-83-101-10-86-4-34-47-36-64-60-25-92-55-105-45-19-40-98-107-62-43...

Et de manière générale en base 8+53n :

[n][1+8n][1+11n][5+35n][2+15n][2+14n][6n][7+48n][1+13n][7+51n][5+37n][4+31n][5+36n][3+23n][3+25n][6+41n][1+10n][4+27n][4n][4+32n][6+44n][5+34n][1+7n][3n][3+24n][4+33n]===[7+52n][6+45n][6+42n][2+18n][5+38n][5+39n][7+47n][5n][6+40n][2n][2+16n][3+22n][2+17n][4+30n][4+28n][1+12n][6+43n][3+26n][7+49n][3+21n][1+9n][2+19n][6+46n][7+50n][4+29n][3+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-8-11-35-15-14-6-48-13-51-37-31-36-23-25-41-10-27-4-32-44-34-7-3-24-33===52-45-42-18-38-39-47-5-40-2-16-22-17-30-28-12-43-26-49-21-9-19-46-50-29-20

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 8 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 20+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 20+53n. La série est alors :

1-20-29-50-46-19-9-21-49-26-43-12-28-30-17-22-16-2-40-5-47-39-38-18-42-45===52-33-24-3-7-34-44-32-4-27-10-41-25-23-36-31-37-51-13-48-6-14-15-35-11-8

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 8+53n.

Calculons 1/53 en base : 20, 73, 126, ...(20+53n) :

1/53 en base 20 = 0,0-7-10-18-17-7-3-7-18-9-16-4-10-11-6-8-6-0-15-1-17-14-14-6-15-16===19-12-9-1-2-12-16-12-1-10-3-15-9-8-13-11-13-19-4-18-2-5-5-13-4-3...

1/53 en base 73 = 0,1-27-39-68-63-26-12-28-67-35-59-16-38-41-23-30-22-2-55-6-64-53-52-24-57-61===71-45-33-4-9-46-60-44-5-37-13-56-34-31-49-42-50-70-17-66-8-19-20-48-15-11...

1/53 en base 126 = 0,2-47-68-118-109-45-21-49-116-61-102-28-66-71-40-52-38-4-95-11-111-92-90-42-99-106===123-78-57-7-16-80-104-76-9-64-23-97-59-54-85-73-87-121-30-114-14-33-35-83-26-19...

Et de manière générale en base 20+53n :

[n][7+20n][10+29n][18+50n][17+46n][7+19n][3+9n][7+21n][18+49n][9+26n][16+43n][4+12n][10+28n][11+30n][6+17n][8+22n][6+16n][2n][15+40n][1+5n][17+47n][14+39n][14+38n][6+18n][15+42n][16+45n]===[19+52n][12+33n][9+24n][1+3n][2+7n][12+34n][16+44n][12+32n][1+4n][10+27n][3+10n][15+41n][9+25n][8+23n][13+36n][11+31n][13+37n][19+51n][4+13n][18+48n][2+6n][5+14n][5+15n][13+35n][4+11n][3+8n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-20-29-50-46-19-9-21-49-26-43-12-28-30-17-22-16-2-40-5-47-39-38-18-42-45===52-33-24-3-7-34-44-32-4-27-10-41-25-23-36-31-37-51-13-48-6-14-15-35-11-8

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 8+53n.

Constatons que 8x20 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53