Pourquoi les périodes de n/53 en base 12+53n se regroupent elles en cette série ?

1-12-38-32-13-50-17-45-10-14-9-2-24-23-11-26-47-34-37-20-28-18-4-48-46-22===52-41-15-21-40-3-36-8-43-39-44-51-29-30-42-27-6-19-16-33-25-35-49-5-7-31

Calculons 1/53 en base 12+53n (12, 65, 118, ...) :

1/53 en base 12 = 0,0-2-8-7-2-11-3-10-2-3-2-0-5-5-2-5-10-7-8-4-6-4-0-10-10-4===11-9-3-4-9-0-8-1-9-8-9-11-6-6-9-6-1-4-3-7-5-7-11-1-1-7...

1/53 en base 65 = 0,1-14-46-39-15-61-20-55-12-17-11-2-29-28-13-31-57-41-45-24-34-22-4-58-56-26===63-50-18-25-49-3-44-9-52-47-53-62-35-36-51-33-7-23-19-40-30-42-60-6-8-38...

1/53 en base 118 = 0,2-26-84-71-28-111-37-100-22-31-20-4-53-51-24-57-104-75-82-44-62-40-8-106-102-48===115-91-33-46-89-6-80-17-95-86-97-113-64-66-93-60-13-42-35-73-55-77-109-11-15-69...

Et de manière générale en base 12+53n :

[n][2+12n][8+38n][7+32n][2+13n][11+50n][3+17n][10+45n][2+10n][3+14n][2+9n][2n][5+24n][5+23n][2+11n][5+26n][10+47n][7+34n][8+37n][4+20n][6+28n][4+18n][4n][10+48n][10+46n][4+22n]===[11+52n][9+41n][3+15n][4+21n][9+40n][3n][8+36n][1+8n][9+43n][8+39n][9+44n][11+51n][6+29n][6+30n][9+42n][6+27n][1+6n][4+19n][3+16n][7+33n][5+25n][7+35n][11+49n][1+5n][1+7n][7+31n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-12-38-32-13-50-17-45-10-14-9-2-24-23-11-26-47-34-37-20-28-18-4-48-46-22===52-41-15-21-40-3-36-8-43-39-44-51-29-30-42-27-6-19-16-33-25-35-49-5-7-31

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 12 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 31+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 31+53n. La série est alors :

1-31-7-5-49-35-25-33-16-19-6-27-42-30-29-51-44-39-43-8-36-3-40-21-15-41===52-22-46-48-4-18-28-20-37-34-47-26-11-23-24-2-9-14-10-45-17-50-13-32-38-12

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 12+53n.

Calculons 1/53 en base : 31, 84, 137, ...(31+53n) :

1/53 en base 31 = 0,0-18-4-2-28-20-14-19-9-11-3-15-24-17-16-29-25-22-25-4-21-1-23-12-8-23===30-12-26-28-2-10-16-11-21-19-27-15-6-13-14-1-5-8-5-26-9-29-7-18-22-7...

1/53 en base 84 = 0,1-49-11-7-77-55-39-52-25-30-9-42-66-47-45-80-69-61-68-12-57-4-63-33-23-64===82-34-72-76-6-28-44-31-58-53-74-41-17-36-38-3-14-22-15-71-26-79-20-50-60-19...

1/53 en base 137 = 0,2-80-18-12-126-90-64-85-41-49-15-69-108-77-74-131-113-100-111-20-93-7-103-54-38-105===134-56-118-124-10-46-72-51-95-87-121-67-28-59-62-5-23-36-25-116-43-129-33-82-98-31...

Et de manière générale en base 31+53n :

[n][18+31n][4+7n][2+5n][28+49n][20+35n][14+25n][19+33n][9+16n][11+19n][3+6n][15+27n][24+42n][17+30n][16+29n][29+51n][25+44n][22+39n][25+43n][4+8n][21+36n][1+3n][23+40n][12+21n][8+15n][23+41n]===[30+52n][12+22n][26+46n][28+48n][2+4n][10+18n][16+28n][11+20n][21+37n][19+34n][27+47n][15+26n][6+11n][13+23n][14+24n][1+2n][5+9n][8+14n][5+10n][26+45n][9+17n][29+50n][7+13n][18+32n][22+38n][7+12n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-31-7-5-49-35-25-33-16-19-6-27-42-30-29-51-44-39-43-8-36-3-40-21-15-41===52-22-46-48-4-18-28-20-37-34-47-26-11-23-24-2-9-14-10-45-17-50-13-32-38-12

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 31 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 12+53n.

Constatons que 12x31 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53