Pourquoi les périodes de n/53 en base 14+53n se regroupent elles en cette série ?

1-14-37-41-44-33-38-2-28-21-29-35-13-23-4-3-42-5-17-26-46-8-6-31-10-34===52-39-16-12-9-20-15-51-25-32-24-18-40-30-49-50-11-48-36-27-7-45-47-22-43-19

Calculons 1/53 en base 14+53n (14, 67, 120, ...) :

1/53 en base 14 = 0,0-3-9-10-11-8-10-0-7-5-7-9-3-6-1-0-11-1-4-6-12-2-1-8-2-8===13-10-4-3-2-5-3-13-6-8-6-4-10-7-12-13-2-12-9-7-1-11-12-5-11-5...

1/53 en base 67 = 0,1-17-46-51-55-41-48-2-35-26-36-44-16-29-5-3-53-6-21-32-58-10-7-39-12-42===65-49-20-15-11-25-18-64-31-40-30-22-50-37-61-63-13-60-45-34-8-56-59-27-54-24...

1/53 en base 120 = 0,2-31-83-92-99-74-86-4-63-47-65-79-29-52-9-6-95-11-38-58-104-18-13-70-22-76===117-88-36-27-20-45-33-115-56-72-54-40-90-67-110-113-24-108-81-61-15-101-106-49-97-43...

Et de manière générale en base 14+53n :

[n][3+14n][9+37n][10+41n][11+44n][8+33n][10+38n][2n][7+28n][5+21n][7+29n][9+35n][3+13n][6+23n][1+4n][3n][11+42n][1+5n][4+17n][6+26n][12+46n][2+8n][1+6n][8+31n][2+10n][8+34n]===[13+52n][10+39n][4+16n][3+12n][2+9n][5+20n][3+15n][13+51n][6+25n][8+32n][6+24n][4+18n][10+40n][7+30n][12+49n][13+50n][2+11n][12+48n][9+36n][7+27n][1+7n][11+45n][12+47n][5+22n][11+43n][5+19n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-14-37-41-44-33-38-2-28-21-29-35-13-23-4-3-42-5-17-26-46-8-6-31-10-34===52-39-16-12-9-20-15-51-25-32-24-18-40-30-49-50-11-48-36-27-7-45-47-22-43-19

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 19+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 19+53n. La série est alors :

1-19-43-22-47-45-7-27-36-48-11-50-49-30-40-18-24-32-25-51-15-20-9-12-16-39===52-34-10-31-6-8-46-26-17-5-42-3-4-23-13-35-29-21-28-2-38-33-44-41-37-14

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 14+53n.

Calculons 1/53 en base : 19, 72, 125, ...(19+53n) :

1/53 en base 19 = 0,0-6-15-7-16-16-2-9-12-17-3-17-17-10-14-6-8-11-8-18-5-7-3-4-5-13===18-12-3-11-2-2-16-9-6-1-15-1-1-8-4-12-10-7-10-0-13-11-15-14-13-5...

1/53 en base 72 = 0,1-25-58-29-63-61-9-36-48-65-14-67-66-40-54-24-32-43-33-69-20-27-12-16-21-52===70-46-13-42-8-10-62-35-23-6-57-4-5-31-17-47-39-28-38-2-51-44-59-55-50-19...

1/53 en base 125 = 0,2-44-101-51-110-106-16-63-84-113-25-117-115-70-94-42-56-75-58-120-35-47-21-28-37-91===122-80-23-73-14-18-108-61-40-11-99-7-9-54-30-82-68-49-66-4-89-77-103-96-87-33...

Et de manière générale en base 19+53n :

[n][6+19n][15+43n][7+22n][16+47n][16+45n][2+7n][9+27n][12+36n][17+48n][3+11n][17+50n][17+49n][10+30n][14+40n][6+18n][8+24n][11+32n][8+25n][18+51n][5+15n][7+20n][3+9n][4+12n][5+16n][13+39n]===[18+52n][12+34n][3+10n][11+31n][2+6n][2+8n][16+46n][9+26n][6+17n][1+5n][15+42n][1+3n][1+4n][8+23n][4+13n][12+35n][10+29n][7+21n][10+28n][2n][13+38n][11+33n][15+44n][14+41n][13+37n][5+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-19-43-22-47-45-7-27-36-48-11-50-49-30-40-18-24-32-25-51-15-20-9-12-16-39===52-34-10-31-6-8-46-26-17-5-42-3-4-23-13-35-29-21-28-2-38-33-44-41-37-14

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 19 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 14+53n.

Constatons que 14x19 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53