Pourquoi les périodes de n/53 en base 21+53n se regroupent elles en cette série ?

1-21-17-39-24-27-37-35-46-12-40-45-44-23-6-20-49-22-38-3-10-51-11-19-28-5===52-32-36-14-29-26-16-18-7-41-13-8-9-30-47-33-4-31-15-50-43-2-42-34-25-48

Calculons 1/53 en base 21+53n (21, 74, 127, ...) :

1/53 en base 21 = 0,0-8-6-15-9-10-14-13-18-4-15-17-17-9-2-7-19-8-15-1-3-20-4-7-11-1===20-12-14-5-11-10-6-7-2-16-5-3-3-11-18-13-1-12-5-19-17-0-16-13-9-19...

1/53 en base 74 = 0,1-29-23-54-33-37-51-48-64-16-55-62-61-32-8-27-68-30-53-4-13-71-15-26-39-6===72-44-50-19-40-36-22-25-9-57-18-11-12-41-65-46-5-43-20-69-60-2-58-47-34-67...

1/53 en base 127 = 0,2-50-40-93-57-64-88-83-110-28-95-107-105-55-14-47-117-52-91-7-23-122-26-45-67-11===124-76-86-33-69-62-38-43-16-98-31-19-21-71-112-79-9-74-35-119-103-4-100-81-59-115...

Et de manière générale en base 21+53n :

[n][8+21n][6+17n][15+39n][9+24n][10+27n][14+37n][13+35n][18+46n][4+12n][15+40n][17+45n][17+44n][9+23n][2+6n][7+20n][19+49n][8+22n][15+38n][1+3n][3+10n][20+51n][4+11n][7+19n][11+28n][1+5n]===[20+52n][12+32n][14+36n][5+14n][11+29n][10+26n][6+16n][7+18n][2+7n][16+41n][5+13n][3+8n][3+9n][11+30n][18+47n][13+33n][1+4n][12+31n][5+15n][19+50n][17+43n][2n][16+42n][13+34n][9+25n][19+48n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-21-17-39-24-27-37-35-46-12-40-45-44-23-6-20-49-22-38-3-10-51-11-19-28-5===52-32-36-14-29-26-16-18-7-41-13-8-9-30-47-33-4-31-15-50-43-2-42-34-25-48

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 21 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 48+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 48+53n. La série est alors :

1-48-25-34-42-2-43-50-15-31-4-33-47-30-9-8-13-41-7-18-16-26-29-14-36-32===52-5-28-19-11-51-10-3-38-22-49-20-6-23-44-45-40-12-46-35-37-27-24-39-17-21

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 21+53n.

Calculons 1/53 en base : 48, 101, 154, ...(48+53n) :

1/53 en base 48 = 0,0-43-22-30-38-1-38-45-13-28-3-29-42-27-8-7-11-37-6-16-14-23-26-12-32-28===47-4-25-17-9-46-9-2-34-19-44-18-5-20-39-40-36-10-41-31-33-24-21-35-15-19...

1/53 en base 101 = 0,1-91-47-64-80-3-81-95-28-59-7-62-89-57-17-15-24-78-13-34-30-49-55-26-68-60===99-9-53-36-20-97-19-5-72-41-93-38-11-43-83-85-76-22-87-66-70-51-45-74-32-40...

1/53 en base 154 = 0,2-139-72-98-122-5-124-145-43-90-11-95-136-87-26-23-37-119-20-52-46-75-84-40-104-92===151-14-81-55-31-148-29-8-110-63-142-58-17-66-127-130-116-34-133-101-107-78-69-113-49-61...

Et de manière générale en base 48+53n :

[n][43+48n][22+25n][30+34n][38+42n][1+2n][38+43n][45+50n][13+15n][28+31n][3+4n][29+33n][42+47n][27+30n][8+9n][7+8n][11+13n][37+41n][6+7n][16+18n][14+16n][23+26n][26+29n][12+14n][32+36n][28+32n]===[47+52n][4+5n][25+28n][17+19n][9+11n][46+51n][9+10n][2+3n][34+38n][19+22n][44+49n][18+20n][5+6n][20+23n][39+44n][40+45n][36+40n][10+12n][41+46n][31+35n][33+37n][24+27n][21+24n][35+39n][15+17n][19+21n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-48-25-34-42-2-43-50-15-31-4-33-47-30-9-8-13-41-7-18-16-26-29-14-36-32===52-5-28-19-11-51-10-3-38-22-49-20-6-23-44-45-40-12-46-35-37-27-24-39-17-21

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 48 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 21+53n.

Constatons que 21x48 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53