Pourquoi les périodes de n/53 en base 22+53n se regroupent elles en cette série ?

1-22-7-48-49-18-25-20-16-34-6-26-42-23-29-2-44-14-43-45-36-50-40-32-15-12===52-31-46-5-4-35-28-33-37-19-47-27-11-30-24-51-9-39-10-8-17-3-13-21-38-41

Calculons 1/53 en base 22+53n (22, 75, 128, ...) :

1/53 en base 22 = 0,0-9-2-19-20-7-10-8-6-14-2-10-17-9-12-0-18-5-17-18-14-20-16-13-6-4===21-12-19-2-1-14-11-13-15-7-19-11-4-12-9-21-3-16-4-3-7-1-5-8-15-17...

1/53 en base 75 = 0,1-31-9-67-69-25-35-28-22-48-8-36-59-32-41-2-62-19-60-63-50-70-56-45-21-16===73-43-65-7-5-49-39-46-52-26-66-38-15-42-33-72-12-55-14-11-24-4-18-29-53-58...

1/53 en base 128 = 0,2-53-16-115-118-43-60-48-38-82-14-62-101-55-70-4-106-33-103-108-86-120-96-77-36-28===125-74-111-12-9-84-67-79-89-45-113-65-26-72-57-123-21-94-24-19-41-7-31-50-91-99...

Et de manière générale en base 22+53n :

[n][9+22n][2+7n][19+48n][20+49n][7+18n][10+25n][8+20n][6+16n][14+34n][2+6n][10+26n][17+42n][9+23n][12+29n][2n][18+44n][5+14n][17+43n][18+45n][14+36n][20+50n][16+40n][13+32n][6+15n][4+12n]===[21+52n][12+31n][19+46n][2+5n][1+4n][14+35n][11+28n][13+33n][15+37n][7+19n][19+47n][11+27n][4+11n][12+30n][9+24n][21+51n][3+9n][16+39n][4+10n][3+8n][7+17n][1+3n][5+13n][8+21n][15+38n][17+41n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-22-7-48-49-18-25-20-16-34-6-26-42-23-29-2-44-14-43-45-36-50-40-32-15-12===52-31-46-5-4-35-28-33-37-19-47-27-11-30-24-51-9-39-10-8-17-3-13-21-38-41

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 22 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 41+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 41+53n. La série est alors :

1-41-38-21-13-3-17-8-10-39-9-51-24-30-11-27-47-19-37-33-28-35-4-5-46-31===52-12-15-32-40-50-36-45-43-14-44-2-29-23-42-26-6-34-16-20-25-18-49-48-7-22

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 22+53n.

Calculons 1/53 en base : 41, 94, 147, ...(41+53n) :

1/53 en base 41 = 0,0-31-29-16-10-2-13-6-7-30-6-39-18-23-8-20-36-14-28-25-21-27-3-3-35-23===40-9-11-24-30-38-27-34-33-10-34-1-22-17-32-20-4-26-12-15-19-13-37-37-5-17...

1/53 en base 94 = 0,1-72-67-37-23-5-30-14-17-69-15-90-42-53-19-47-83-33-65-58-49-62-7-8-81-54===92-21-26-56-70-88-63-79-76-24-78-3-51-40-74-46-10-60-28-35-44-31-86-85-12-39...

1/53 en base 147 = 0,2-113-105-58-36-8-47-22-27-108-24-141-66-83-30-74-130-52-102-91-77-97-11-13-127-85===144-33-41-88-110-138-99-124-119-38-122-5-80-63-116-72-16-94-44-55-69-49-135-133-19-61...

Et de manière générale en base 41+53n :

[n][31+41n][29+38n][16+21n][10+13n][2+3n][13+17n][6+8n][7+10n][30+39n][6+9n][39+51n][18+24n][23+30n][8+11n][20+27n][36+47n][14+19n][28+37n][25+33n][21+28n][27+35n][3+4n][3+5n][35+46n][23+31n]===[40+52n][9+12n][11+15n][24+32n][30+40n][38+50n][27+36n][34+45n][33+43n][10+14n][34+44n][1+2n][22+29n][17+23n][32+42n][20+26n][4+6n][26+34n][12+16n][15+20n][19+25n][13+18n][37+49n][37+48n][5+7n][17+22n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-41-38-21-13-3-17-8-10-39-9-51-24-30-11-27-47-19-37-33-28-35-4-5-46-31===52-12-15-32-40-50-36-45-43-14-44-2-29-23-42-26-6-34-16-20-25-18-49-48-7-22

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 41 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 22+53n.

Constatons que 22x41 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53