Pourquoi les périodes de n/53 en base 26+53n se regroupent elles en cette série ?

1-26-40-33-10-48-29-12-47-3-25-14-46-30-38-34-36-35-9-22-42-32-37-8-49-2===52-27-13-20-43-5-24-41-6-50-28-39-7-23-15-19-17-18-44-31-11-21-16-45-4-51

Calculons 1/53 en base 26+53n (26, 79, 132, ...) :

1/53 en base 26 = 0,0-12-19-16-4-23-14-5-23-1-12-6-22-14-18-16-17-17-4-10-20-15-18-3-24-0===25-13-6-9-21-2-11-20-2-24-13-19-3-11-7-9-8-8-21-15-5-10-7-22-1-25...

1/53 en base 79 = 0,1-38-59-49-14-71-43-17-70-4-37-20-68-44-56-50-53-52-13-32-62-47-55-11-73-2===77-40-19-29-64-7-35-61-8-74-41-58-10-34-22-28-25-26-65-46-16-31-23-67-5-76...

1/53 en base 132 = 0,2-64-99-82-24-119-72-29-117-7-62-34-114-74-94-84-89-87-22-54-104-79-92-19-122-4===129-67-32-49-107-12-59-102-14-124-69-97-17-57-37-47-42-44-109-77-27-52-39-112-9-127...

Et de manière générale en base 26+53n :

[n][12+26n][19+40n][16+33n][4+10n][23+48n][14+29n][5+12n][23+47n][1+3n][12+25n][6+14n][22+46n][14+30n][18+38n][16+34n][17+36n][17+35n][4+9n][10+22n][20+42n][15+32n][18+37n][3+8n][24+49n][2n]===[25+52n][13+27n][6+13n][9+20n][21+43n][2+5n][11+24n][20+41n][2+6n][24+50n][13+28n][19+39n][3+7n][11+23n][7+15n][9+19n][8+17n][8+18n][21+44n][15+31n][5+11n][10+21n][7+16n][22+45n][1+4n][25+51n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-26-40-33-10-48-29-12-47-3-25-14-46-30-38-34-36-35-9-22-42-32-37-8-49-2===52-27-13-20-43-5-24-41-6-50-28-39-7-23-15-19-17-18-44-31-11-21-16-45-4-51

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 51+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 51+53n. La série est alors :

1-51-4-45-16-21-11-31-44-18-17-19-15-23-7-39-28-50-6-41-24-5-43-20-13-27===52-2-49-8-37-32-42-22-9-35-36-34-38-30-46-14-25-3-47-12-29-48-10-33-40-26

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 26+53n.

Calculons 1/53 en base : 51, 104, 157, ...(51+53n) :

1/53 en base 51 = 0,0-49-3-43-15-20-10-29-42-17-16-18-14-22-6-37-26-48-5-39-23-4-41-19-12-25===50-1-47-7-35-30-40-21-8-33-34-32-36-28-44-13-24-2-45-11-27-46-9-31-38-25...

1/53 en base 104 = 0,1-100-7-88-31-41-21-60-86-35-33-37-29-45-13-76-54-98-11-80-47-9-84-39-25-52===102-3-96-15-72-62-82-43-17-68-70-66-74-58-90-27-49-5-92-23-56-94-19-64-78-51...

1/53 en base 157 = 0,2-151-11-133-47-62-32-91-130-53-50-56-44-68-20-115-82-148-17-121-71-14-127-59-38-79===154-5-145-23-109-94-124-65-26-103-106-100-112-88-136-41-74-8-139-35-85-142-29-97-118-77...

Et de manière générale en base 51+53n :

[n][49+51n][3+4n][43+45n][15+16n][20+21n][10+11n][29+31n][42+44n][17+18n][16+17n][18+19n][14+15n][22+23n][6+7n][37+39n][26+28n][48+50n][5+6n][39+41n][23+24n][4+5n][41+43n][19+20n][12+13n][25+27n]===[50+52n][1+2n][47+49n][7+8n][35+37n][30+32n][40+42n][21+22n][8+9n][33+35n][34+36n][32+34n][36+38n][28+30n][44+46n][13+14n][24+25n][2+3n][45+47n][11+12n][27+29n][46+48n][9+10n][31+33n][38+40n][25+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-51-4-45-16-21-11-31-44-18-17-19-15-23-7-39-28-50-6-41-24-5-43-20-13-27===52-2-49-8-37-32-42-22-9-35-36-34-38-30-46-14-25-3-47-12-29-48-10-33-40-26

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 51 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 26+53n.

Constatons que 26x51 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53