Pourquoi les périodes de n/53 en base 33+53n se regroupent elles en cette série ?

1-33-29-3-46-34-9-32-49-27-43-41-28-23-17-31-16-51-40-48-47-14-38-35-42-8===52-20-24-50-7-19-44-21-4-26-10-12-25-30-36-22-37-2-13-5-6-39-15-18-11-45

Calculons 1/53 en base 33+53n (33, 86, 139, ...) :

1/53 en base 33 = 0,0-20-18-1-28-21-5-19-30-16-26-25-17-14-10-19-9-31-24-29-29-8-23-21-26-4===32-12-14-31-4-11-27-13-2-16-6-7-15-18-22-13-23-1-8-3-3-24-9-11-6-28...

1/53 en base 86 = 0,1-53-47-4-74-55-14-51-79-43-69-66-45-37-27-50-25-82-64-77-76-22-61-56-68-12===84-32-38-81-11-30-71-34-6-42-16-19-40-48-58-35-60-3-21-8-9-63-24-29-17-73...

1/53 en base 139 = 0,2-86-76-7-120-89-23-83-128-70-112-107-73-60-44-81-41-133-104-125-123-36-99-91-110-20===136-52-62-131-18-49-115-55-10-68-26-31-65-78-94-57-97-5-34-13-15-102-39-47-28-118...

Et de manière générale en base 33+53n :

[n][20+33n][18+29n][1+3n][28+46n][21+34n][5+9n][19+32n][30+49n][16+27n][26+43n][25+41n][17+28n][14+23n][10+17n][19+31n][9+16n][31+51n][24+40n][29+48n][29+47n][8+14n][23+38n][21+35n][26+42n][4+8n]===[32+52n][12+20n][14+24n][31+50n][4+7n][11+19n][27+44n][13+21n][2+4n][16+26n][6+10n][7+12n][15+25n][18+30n][22+36n][13+22n][23+37n][1+2n][8+13n][3+5n][3+6n][24+39n][9+15n][11+18n][6+11n][28+45n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-33-29-3-46-34-9-32-49-27-43-41-28-23-17-31-16-51-40-48-47-14-38-35-42-8===52-20-24-50-7-19-44-21-4-26-10-12-25-30-36-22-37-2-13-5-6-39-15-18-11-45

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 33 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 45+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 45+53n. La série est alors :

1-45-11-18-15-39-6-5-13-2-37-22-36-30-25-12-10-26-4-21-44-19-7-50-24-20===52-8-42-35-38-14-47-48-40-51-16-31-17-23-28-41-43-27-49-32-9-34-46-3-29-33

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 33+53n.

Calculons 1/53 en base : 45, 98, 151, ...(45+53n) :

1/53 en base 45 = 0,0-38-9-15-12-33-5-4-11-1-31-18-30-25-21-10-8-22-3-17-37-16-5-42-20-16===44-6-35-29-32-11-39-40-33-43-13-26-14-19-23-34-36-22-41-27-7-28-39-2-24-28...

1/53 en base 98 = 0,1-83-20-33-27-72-11-9-24-3-68-40-66-55-46-22-18-48-7-38-81-35-12-92-44-36===96-14-77-64-70-25-86-88-73-94-29-57-31-42-51-75-79-49-90-59-16-62-85-5-53-61...

1/53 en base 151 = 0,2-128-31-51-42-111-17-14-37-5-105-62-102-85-71-34-28-74-11-59-125-54-19-142-68-56===148-22-119-99-108-39-133-136-113-145-45-88-48-65-79-116-122-76-139-91-25-96-131-8-82-94...

Et de manière générale en base 45+53n :

[n][38+45n][9+11n][15+18n][12+15n][33+39n][5+6n][4+5n][11+13n][1+2n][31+37n][18+22n][30+36n][25+30n][21+25n][10+12n][8+10n][22+26n][3+4n][17+21n][37+44n][16+19n][5+7n][42+50n][20+24n][16+20n]===[44+52n][6+8n][35+42n][29+35n][32+38n][11+14n][39+47n][40+48n][33+40n][43+51n][13+16n][26+31n][14+17n][19+23n][23+28n][34+41n][36+43n][22+27n][41+49n][27+32n][7+9n][28+34n][39+46n][2+3n][24+29n][28+33n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-45-11-18-15-39-6-5-13-2-37-22-36-30-25-12-10-26-4-21-44-19-7-50-24-20===52-8-42-35-38-14-47-48-40-51-16-31-17-23-28-41-43-27-49-32-9-34-46-3-29-33

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 45 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 33+53n.

Constatons que 33x45 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53