Pourquoi les périodes de n/53 en base 34+53n se regroupent elles en cette série ?

1-34-43-31-47-8-7-26-36-5-11-3-49-23-40-35-24-21-25-2-15-33-9-41-16-14===52-19-10-22-6-45-46-27-17-48-42-50-4-30-13-18-29-32-28-51-38-20-44-12-37-39

Calculons 1/53 en base 34+53n (34, 87, 140, ...) :

1/53 en base 34 = 0,0-21-27-19-30-5-4-16-23-3-7-1-31-14-25-22-15-13-16-1-9-21-5-26-10-8===33-12-6-14-3-28-29-17-10-30-26-32-2-19-8-11-18-20-17-32-24-12-28-7-23-25...

1/53 en base 87 = 0,1-55-70-50-77-13-11-42-59-8-18-4-80-37-65-57-39-34-41-3-24-54-14-67-26-22===85-31-16-36-9-73-75-44-27-78-68-82-6-49-21-29-47-52-45-83-62-32-72-19-60-64...

1/53 en base 140 = 0,2-89-113-81-124-21-18-68-95-13-29-7-129-60-105-92-63-55-66-5-39-87-23-108-42-36===137-50-26-58-15-118-121-71-44-126-110-132-10-79-34-47-76-84-73-134-100-52-116-31-97-103...

Et de manière générale en base 34+53n :

[n][21+34n][27+43n][19+31n][30+47n][5+8n][4+7n][16+26n][23+36n][3+5n][7+11n][1+3n][31+49n][14+23n][25+40n][22+35n][15+24n][13+21n][16+25n][1+2n][9+15n][21+33n][5+9n][26+41n][10+16n][8+14n]===[33+52n][12+19n][6+10n][14+22n][3+6n][28+45n][29+46n][17+27n][10+17n][30+48n][26+42n][32+50n][2+4n][19+30n][8+13n][11+18n][18+29n][20+32n][17+28n][32+51n][24+38n][12+20n][28+44n][7+12n][23+37n][25+39n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-34-43-31-47-8-7-26-36-5-11-3-49-23-40-35-24-21-25-2-15-33-9-41-16-14===52-19-10-22-6-45-46-27-17-48-42-50-4-30-13-18-29-32-28-51-38-20-44-12-37-39

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 34 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 39+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 39+53n. La série est alors :

1-39-37-12-44-20-38-51-28-32-29-18-13-30-4-50-42-48-17-27-46-45-6-22-10-19===52-14-16-41-9-33-15-2-25-21-24-35-40-23-49-3-11-5-36-26-7-8-47-31-43-34

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 34+53n.

Calculons 1/53 en base : 39, 92, 145, ...(39+53n) :

1/53 en base 39 = 0,0-28-27-8-32-14-27-37-20-23-21-13-9-22-2-36-30-35-12-19-33-33-4-16-7-13===38-10-11-30-6-24-11-1-18-15-17-25-29-16-36-2-8-3-26-19-5-5-34-22-31-25...

1/53 en base 92 = 0,1-67-64-20-76-34-65-88-48-55-50-31-22-52-6-86-72-83-29-46-79-78-10-38-17-32===90-24-27-71-15-57-26-3-43-36-41-60-69-39-85-5-19-8-62-45-12-13-81-53-74-59...

1/53 en base 145 = 0,2-106-101-32-120-54-103-139-76-87-79-49-35-82-10-136-114-131-46-73-125-123-16-60-27-51===142-38-43-112-24-90-41-5-68-57-65-95-109-62-134-8-30-13-98-71-19-21-128-84-117-93...

Et de manière générale en base 39+53n :

[n][28+39n][27+37n][8+12n][32+44n][14+20n][27+38n][37+51n][20+28n][23+32n][21+29n][13+18n][9+13n][22+30n][2+4n][36+50n][30+42n][35+48n][12+17n][19+27n][33+46n][33+45n][4+6n][16+22n][7+10n][13+19n]===[38+52n][10+14n][11+16n][30+41n][6+9n][24+33n][11+15n][1+2n][18+25n][15+21n][17+24n][25+35n][29+40n][16+23n][36+49n][2+3n][8+11n][3+5n][26+36n][19+26n][5+7n][5+8n][34+47n][22+31n][31+43n][25+34n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-39-37-12-44-20-38-51-28-32-29-18-13-30-4-50-42-48-17-27-46-45-6-22-10-19===52-14-16-41-9-33-15-2-25-21-24-35-40-23-49-3-11-5-36-26-7-8-47-31-43-34

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 39 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 34+53n.

Constatons que 34x39 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53