Pourquoi les périodes de n/53 en base 35+53n se regroupent elles en cette série ?

1-35-6-51-36-41-4-34-24-45-38-5-16-30-43-21-46-20-11-14-13-31-25-27-44-3===52-18-47-2-17-12-49-19-29-8-15-48-37-23-10-32-7-33-42-39-40-22-28-26-9-50

Calculons 1/53 en base 35+53n (35, 88, 141, ...) :

1/53 en base 35 = 0,0-23-3-33-23-27-2-22-15-29-25-3-10-19-28-13-30-13-7-9-8-20-16-17-29-1===34-11-31-1-11-7-32-12-19-5-9-31-24-15-6-21-4-21-27-25-26-14-18-17-5-33...

1/53 en base 88 = 0,1-58-9-84-59-68-6-56-39-74-63-8-26-49-71-34-76-33-18-23-21-51-41-44-73-4===86-29-78-3-28-19-81-31-48-13-24-79-61-38-16-53-11-54-69-64-66-36-46-43-14-83...

1/53 en base 141 = 0,2-93-15-135-95-109-10-90-63-119-101-13-42-79-114-55-122-53-29-37-34-82-66-71-117-7===138-47-125-5-45-31-130-50-77-21-39-127-98-61-26-85-18-87-111-103-106-58-74-69-23-133...

Et de manière générale en base 35+53n :

[n][23+35n][3+6n][33+51n][23+36n][27+41n][2+4n][22+34n][15+24n][29+45n][25+38n][3+5n][10+16n][19+30n][28+43n][13+21n][30+46n][13+20n][7+11n][9+14n][8+13n][20+31n][16+25n][17+27n][29+44n][1+3n]===[34+52n][11+18n][31+47n][1+2n][11+17n][7+12n][32+49n][12+19n][19+29n][5+8n][9+15n][31+48n][24+37n][15+23n][6+10n][21+32n][4+7n][21+33n][27+42n][25+39n][26+40n][14+22n][18+28n][17+26n][5+9n][33+50n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-35-6-51-36-41-4-34-24-45-38-5-16-30-43-21-46-20-11-14-13-31-25-27-44-3===52-18-47-2-17-12-49-19-29-8-15-48-37-23-10-32-7-33-42-39-40-22-28-26-9-50

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 53 

Calcul de 1/53 en base 50+53n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 50+53n. La série est alors :

1-50-9-26-28-22-40-39-42-33-7-32-10-23-37-48-15-8-29-19-49-12-17-2-47-18===52-3-44-27-25-31-13-14-11-20-46-21-43-30-16-5-38-45-24-34-4-41-36-51-6-35

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 35+53n.

Calculons 1/53 en base : 50, 103, 156, ...(50+53n) :

1/53 en base 50 = 0,0-47-8-24-26-20-37-36-39-31-6-30-9-21-34-45-14-7-27-17-46-11-16-1-44-16===49-2-41-25-23-29-12-13-10-18-43-19-40-28-15-4-35-42-22-32-3-38-33-48-5-33...

1/53 en base 103 = 0,1-97-17-50-54-42-77-75-81-64-13-62-19-44-71-93-29-15-56-36-95-23-33-3-91-34===101-5-85-52-48-60-25-27-21-38-89-40-83-58-31-9-73-87-46-66-7-79-69-99-11-68...

1/53 en base 156 = 0,2-147-26-76-82-64-117-114-123-97-20-94-29-67-108-141-44-23-85-55-144-35-50-5-138-52===153-8-129-79-73-91-38-41-32-58-135-61-126-88-47-14-111-132-70-100-11-120-105-150-17-103...

Et de manière générale en base 50+53n :

[n][47+50n][8+9n][24+26n][26+28n][20+22n][37+40n][36+39n][39+42n][31+33n][6+7n][30+32n][9+10n][21+23n][34+37n][45+48n][14+15n][7+8n][27+29n][17+19n][46+49n][11+12n][16+17n][1+2n][44+47n][16+18n]===[49+52n][2+3n][41+44n][25+27n][23+25n][29+31n][12+13n][13+14n][10+11n][18+20n][43+46n][19+21n][40+43n][28+30n][15+16n][4+5n][35+38n][42+45n][22+24n][32+34n][3+4n][38+41n][33+36n][48+51n][5+6n][33+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-50-9-26-28-22-40-39-42-33-7-32-10-23-37-48-15-8-29-19-49-12-17-2-47-18===52-3-44-27-25-31-13-14-11-20-46-21-43-30-16-5-38-45-24-34-4-41-36-51-6-35

Qui partage le cercle en 53 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 50 modulo 53 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 35+53n.

Constatons que 35x50 admet 1 pour reste dans la division par 53 et qu'ils sont alors inverses dans Z53