Pourquoi les périodes de n/59 en base 2+59n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-16-32-5-10-20-40-21-42-25-50-41-23-46-33-7-14-28-56-53-47-35-11-22-44-29===58-57-55-51-43-27-54-49-39-19-38-17-34-9-18-36-13-26-52-45-31-3-6-12-24-48-37-15-30

Calculons 1/59 en base 2+59n (2, 61, 120, ...) :

1/59 en base 2 = 0,00000100010101101100011110010===11111011101010010011100001101...

1/59 en base 61 = 0,1-2-4-8-16-33-5-10-20-41-21-43-25-51-42-23-47-34-7-14-28-57-54-48-36-11-22-45-29===59-58-56-52-44-27-55-50-40-19-39-17-35-9-18-37-13-26-53-46-32-3-6-12-24-49-38-15-31...

1/59 en base 120 = 0,2-4-8-16-32-65-10-20-40-81-42-85-50-101-83-46-93-67-14-28-56-113-107-95-71-22-44-89-58===117-115-111-103-87-54-109-99-79-38-77-34-69-18-36-73-26-52-105-91-63-6-12-24-48-97-75-30-61...

Et de manière générale en base 2+59n :

[n][2n][4n][8n][16n][1+32n][5n][10n][20n][1+40n][21n][1+42n][25n][1+50n][1+41n][23n][1+46n][1+33n][7n][14n][28n][1+56n][1+53n][1+47n][1+35n][11n][22n][1+44n][29n]===[1+58n][1+57n][1+55n][1+51n][1+43n][27n][1+54n][1+49n][1+39n][19n][1+38n][17n][1+34n][9n][18n][1+36n][13n][26n][1+52n][1+45n][1+31n][3n][6n][12n][24n][1+48n][1+37n][15n][1+30n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-2-4-8-16-32-5-10-20-40-21-42-25-50-41-23-46-33-7-14-28-56-53-47-35-11-22-44-29===58-57-55-51-43-27-54-49-39-19-38-17-34-9-18-36-13-26-52-45-31-3-6-12-24-48-37-15-30

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 30+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 30+59n. La série est alors :

1-30-15-37-48-24-12-6-3-31-45-52-26-13-36-18-9-34-17-38-19-39-49-54-27-43-51-55-57===58-29-44-22-11-35-47-53-56-28-14-7-33-46-23-41-50-25-42-21-40-20-10-5-32-16-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+59n.

Calculons 1/59 en base : 30, 89, 148, ...(30+59n) :

1/59 en base 30 = 0,0-15-7-18-24-12-6-3-1-15-22-26-13-6-18-9-4-17-8-19-9-19-24-27-13-21-25-27-28===29-14-22-11-5-17-23-26-28-14-7-3-16-23-11-20-25-12-21-10-20-10-5-2-16-8-4-2-1...

1/59 en base 89 = 0,1-45-22-55-72-36-18-9-4-46-67-78-39-19-54-27-13-51-25-57-28-58-73-81-40-64-76-82-85===87-43-66-33-16-52-70-79-84-42-21-10-49-69-34-61-75-37-63-31-60-30-15-7-48-24-12-6-3...

1/59 en base 148 = 0,2-75-37-92-120-60-30-15-7-77-112-130-65-32-90-45-22-85-42-95-47-97-122-135-67-107-127-137-142===145-72-110-55-27-87-117-132-140-70-35-17-82-115-57-102-125-62-105-52-100-50-25-12-80-40-20-10-5...

Et de manière générale en base 30+59n :

[n][15+30n][7+15n][18+37n][24+48n][12+24n][6+12n][3+6n][1+3n][15+31n][22+45n][26+52n][13+26n][6+13n][18+36n][9+18n][4+9n][17+34n][8+17n][19+38n][9+19n][19+39n][24+49n][27+54n][13+27n][21+43n][25+51n][27+55n][28+57n]===[29+58n][14+29n][22+44n][11+22n][5+11n][17+35n][23+47n][26+53n][28+56n][14+28n][7+14n][3+7n][16+33n][23+46n][11+23n][20+41n][25+50n][12+25n][21+42n][10+21n][20+40n][10+20n][5+10n][2+5n][16+32n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-30-15-37-48-24-12-6-3-31-45-52-26-13-36-18-9-34-17-38-19-39-49-54-27-43-51-55-57===58-29-44-22-11-35-47-53-56-28-14-7-33-46-23-41-50-25-42-21-40-20-10-5-32-16-8-4-2

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 30 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+59n.

Constatons que 2x30 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59