Pourquoi les périodes de n/59 en base 6+59n se regroupent elles en cette série ?

1-6-36-39-57-47-46-40-4-24-26-38-51-11-7-42-16-37-45-34-27-44-28-50-5-30-3-18-49===58-53-23-20-2-12-13-19-55-35-33-21-8-48-52-17-43-22-14-25-32-15-31-9-54-29-56-41-10

Calculons 1/59 en base 6+59n (6, 65, 124, ...) :

1/59 en base 6 = 0,00335444022351041343242503014===55220111533204514212313052541...

1/59 en base 65 = 0,1-6-39-42-62-51-50-44-4-26-28-41-56-12-7-46-17-40-49-37-29-48-30-55-5-33-3-19-53===63-58-25-22-2-13-14-20-60-38-36-23-8-52-57-18-47-24-15-27-35-16-34-9-59-31-61-45-11...

1/59 en base 124 = 0,2-12-75-81-119-98-96-84-8-50-54-79-107-23-14-88-33-77-94-71-56-92-58-105-10-63-6-37-102===121-111-48-42-4-25-27-39-115-73-69-44-16-100-109-35-90-46-29-52-67-31-65-18-113-60-117-86-21...

Et de manière générale en base 6+59n :

[n][6n][3+36n][3+39n][5+57n][4+47n][4+46n][4+40n][4n][2+24n][2+26n][3+38n][5+51n][1+11n][7n][4+42n][1+16n][3+37n][4+45n][3+34n][2+27n][4+44n][2+28n][5+50n][5n][3+30n][3n][1+18n][4+49n]===[5+58n][5+53n][2+23n][2+20n][2n][1+12n][1+13n][1+19n][5+55n][3+35n][3+33n][2+21n][8n][4+48n][5+52n][1+17n][4+43n][2+22n][1+14n][2+25n][3+32n][1+15n][3+31n][9n][5+54n][2+29n][5+56n][4+41n][1+10n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-6-36-39-57-47-46-40-4-24-26-38-51-11-7-42-16-37-45-34-27-44-28-50-5-30-3-18-49===58-53-23-20-2-12-13-19-55-35-33-21-8-48-52-17-43-22-14-25-32-15-31-9-54-29-56-41-10

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 10+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 10+59n. La série est alors :

1-10-41-56-29-54-9-31-15-32-25-14-22-43-17-52-48-8-21-33-35-55-19-13-12-2-20-23-53===58-49-18-3-30-5-50-28-44-27-34-45-37-16-42-7-11-51-38-26-24-4-40-46-47-57-39-36-6

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+59n.

Calculons 1/59 en base : 10, 69, 128, ...(10+59n) :

1/59 en base 10 = 0,01694915254237288135593220338===98305084745762711864406779661...

1/59 en base 69 = 0,1-11-47-65-33-63-10-36-17-37-29-16-25-50-19-60-56-9-24-38-40-64-22-15-14-2-23-26-61===67-57-21-3-35-5-58-32-51-31-39-52-43-18-49-8-12-59-44-30-28-4-46-53-54-66-45-42-7...

1/59 en base 128 = 0,2-21-88-121-62-117-19-67-32-69-54-30-47-93-36-112-104-17-45-71-75-119-41-28-26-4-43-49-114===125-106-39-6-65-10-108-60-95-58-73-97-80-34-91-15-23-110-82-56-52-8-86-99-101-123-84-78-13...

Et de manière générale en base 10+59n :

[n][1+10n][6+41n][9+56n][4+29n][9+54n][1+9n][5+31n][2+15n][5+32n][4+25n][2+14n][3+22n][7+43n][2+17n][8+52n][8+48n][1+8n][3+21n][5+33n][5+35n][9+55n][3+19n][2+13n][2+12n][2n][3+20n][3+23n][8+53n]===[9+58n][8+49n][3+18n][3n][5+30n][5n][8+50n][4+28n][7+44n][4+27n][5+34n][7+45n][6+37n][2+16n][7+42n][1+7n][1+11n][8+51n][6+38n][4+26n][4+24n][4n][6+40n][7+46n][7+47n][9+57n][6+39n][6+36n][1+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-10-41-56-29-54-9-31-15-32-25-14-22-43-17-52-48-8-21-33-35-55-19-13-12-2-20-23-53===58-49-18-3-30-5-50-28-44-27-34-45-37-16-42-7-11-51-38-26-24-4-40-46-47-57-39-36-6

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 10 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+59n.

Constatons que 6x10 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59