Pourquoi les périodes de n/59 en base 8+59n se regroupent elles en cette série ?

1-8-5-40-25-23-7-56-35-44-57-43-49-38-9-13-45-6-48-30-4-32-20-42-41-33-28-47-22===58-51-54-19-34-36-52-3-24-15-2-16-10-21-50-46-14-53-11-29-55-27-39-17-18-26-31-12-37

Calculons 1/59 en base 8+59n (8, 67, 126, ...) :

1/59 en base 8 = 0,01053307457565116064042554362===76724470320212661713735223415...

1/59 en base 67 = 0,1-9-5-45-28-26-7-63-39-49-64-48-55-43-10-14-51-6-54-34-4-36-22-47-46-37-31-53-24===65-57-61-21-38-40-59-3-27-17-2-18-11-23-56-52-15-60-12-32-62-30-44-19-20-29-35-13-42...

1/59 en base 126 = 0,2-17-10-85-53-49-14-119-74-93-121-91-104-81-19-27-96-12-102-64-8-68-42-89-87-70-59-100-46===123-108-115-40-72-76-111-6-51-32-4-34-21-44-106-98-29-113-23-61-117-57-83-36-38-55-66-25-79...

Et de manière générale en base 8+59n :

[n][1+8n][5n][5+40n][3+25n][3+23n][7n][7+56n][4+35n][5+44n][7+57n][5+43n][6+49n][5+38n][1+9n][1+13n][6+45n][6n][6+48n][4+30n][4n][4+32n][2+20n][5+42n][5+41n][4+33n][3+28n][6+47n][2+22n]===[7+58n][6+51n][7+54n][2+19n][4+34n][4+36n][7+52n][3n][3+24n][2+15n][2n][2+16n][1+10n][2+21n][6+50n][6+46n][1+14n][7+53n][1+11n][3+29n][7+55n][3+27n][5+39n][2+17n][2+18n][3+26n][4+31n][1+12n][5+37n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-8-5-40-25-23-7-56-35-44-57-43-49-38-9-13-45-6-48-30-4-32-20-42-41-33-28-47-22===58-51-54-19-34-36-52-3-24-15-2-16-10-21-50-46-14-53-11-29-55-27-39-17-18-26-31-12-37

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 8 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 37+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 37+59n. La série est alors :

1-37-12-31-26-18-17-39-27-55-29-11-53-14-46-50-21-10-16-2-15-24-3-52-36-34-19-54-51===58-22-47-28-33-41-42-20-32-4-30-48-6-45-13-9-38-49-43-57-44-35-56-7-23-25-40-5-8

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 8+59n.

Calculons 1/59 en base : 37, 96, 155, ...(37+59n) :

1/59 en base 37 = 0,0-23-7-19-16-11-10-24-16-34-18-6-33-8-28-31-13-6-10-1-9-15-1-32-22-21-11-33-31===36-13-29-17-20-25-26-12-20-2-18-30-3-28-8-5-23-30-26-35-27-21-35-4-14-15-25-3-5...

1/59 en base 96 = 0,1-60-19-50-42-29-27-63-43-89-47-17-86-22-74-81-34-16-26-3-24-39-4-84-58-55-30-87-82===94-35-76-45-53-66-68-32-52-6-48-78-9-73-21-14-61-79-69-92-71-56-91-11-37-40-65-8-13...

1/59 en base 155 = 0,2-97-31-81-68-47-44-102-70-144-76-28-139-36-120-131-55-26-42-5-39-63-7-136-94-89-49-141-133===152-57-123-73-86-107-110-52-84-10-78-126-15-118-34-23-99-128-112-149-115-91-147-18-60-65-105-13-21...

Et de manière générale en base 37+59n :

[n][23+37n][7+12n][19+31n][16+26n][11+18n][10+17n][24+39n][16+27n][34+55n][18+29n][6+11n][33+53n][8+14n][28+46n][31+50n][13+21n][6+10n][10+16n][1+2n][9+15n][15+24n][1+3n][32+52n][22+36n][21+34n][11+19n][33+54n][31+51n]===[36+58n][13+22n][29+47n][17+28n][20+33n][25+41n][26+42n][12+20n][20+32n][2+4n][18+30n][30+48n][3+6n][28+45n][8+13n][5+9n][23+38n][30+49n][26+43n][35+57n][27+44n][21+35n][35+56n][4+7n][14+23n][15+25n][25+40n][3+5n][5+8n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-37-12-31-26-18-17-39-27-55-29-11-53-14-46-50-21-10-16-2-15-24-3-52-36-34-19-54-51===58-22-47-28-33-41-42-20-32-4-30-48-6-45-13-9-38-49-43-57-44-35-56-7-23-25-40-5-8

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 37 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 8+59n.

Constatons que 8x37 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59