Pourquoi les périodes de n/59 en base 11+59n se regroupent elles en cette série ?

1-11-3-33-9-40-27-2-22-6-7-18-21-54-4-44-12-14-36-42-49-8-29-24-28-13-25-39-16===58-48-56-26-50-19-32-57-37-53-52-41-38-5-55-15-47-45-23-17-10-51-30-35-31-46-34-20-43

Calculons 1/59 en base 11+59n (11, 70, 129, ...) :

1/59 en base 11 = 0,0-2-0-6-1-7-5-0-4-1-1-3-3-10-0-8-2-2-6-7-9-1-5-4-5-2-4-7-2===10-8-10-4-9-3-5-10-6-9-9-7-7-0-10-2-8-8-4-3-1-9-5-6-5-8-6-3-8...

1/59 en base 70 = 0,1-13-3-39-10-47-32-2-26-7-8-21-24-64-4-52-14-16-42-49-58-9-34-28-33-15-29-46-18===68-56-66-30-59-22-37-67-43-62-61-48-45-5-65-17-55-53-27-20-11-60-35-41-36-54-40-23-51...

1/59 en base 129 = 0,2-24-6-72-19-87-59-4-48-13-15-39-45-118-8-96-26-30-78-91-107-17-63-52-61-28-54-85-34===126-104-122-56-109-41-69-124-80-115-113-89-83-10-120-32-102-98-50-37-21-111-65-76-67-100-74-43-94...

Et de manière générale en base 11+59n :

[n][2+11n][3n][6+33n][1+9n][7+40n][5+27n][2n][4+22n][1+6n][1+7n][3+18n][3+21n][10+54n][4n][8+44n][2+12n][2+14n][6+36n][7+42n][9+49n][1+8n][5+29n][4+24n][5+28n][2+13n][4+25n][7+39n][2+16n]===[10+58n][8+48n][10+56n][4+26n][9+50n][3+19n][5+32n][10+57n][6+37n][9+53n][9+52n][7+41n][7+38n][5n][10+55n][2+15n][8+47n][8+45n][4+23n][3+17n][1+10n][9+51n][5+30n][6+35n][5+31n][8+46n][6+34n][3+20n][8+43n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-3-33-9-40-27-2-22-6-7-18-21-54-4-44-12-14-36-42-49-8-29-24-28-13-25-39-16===58-48-56-26-50-19-32-57-37-53-52-41-38-5-55-15-47-45-23-17-10-51-30-35-31-46-34-20-43

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 43+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 43+59n. La série est alors :

1-43-20-34-46-31-35-30-51-10-17-23-45-47-15-55-5-38-41-52-53-37-57-32-19-50-26-56-48===58-16-39-25-13-28-24-29-8-49-42-36-14-12-44-4-54-21-18-7-6-22-2-27-40-9-33-3-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+59n.

Calculons 1/59 en base : 43, 102, 161, ...(43+59n) :

1/59 en base 43 = 0,0-31-14-24-33-22-25-21-37-7-12-16-32-34-10-40-3-27-29-37-38-26-41-23-13-36-18-40-34===42-11-28-18-9-20-17-21-5-35-30-26-10-8-32-2-39-15-13-5-4-16-1-19-29-6-24-2-8...

1/59 en base 102 = 0,1-74-34-58-79-53-60-51-88-17-29-39-77-81-25-95-8-65-70-89-91-63-98-55-32-86-44-96-82===100-27-67-43-22-48-41-50-13-84-72-62-24-20-76-6-93-36-31-12-10-38-3-46-69-15-57-5-19...

1/59 en base 161 = 0,2-117-54-92-125-84-95-81-139-27-46-62-122-128-40-150-13-103-111-141-144-100-155-87-51-136-70-152-130===158-43-106-68-35-76-65-79-21-133-114-98-38-32-120-10-147-57-49-19-16-60-5-73-109-24-90-8-30...

Et de manière générale en base 43+59n :

[n][31+43n][14+20n][24+34n][33+46n][22+31n][25+35n][21+30n][37+51n][7+10n][12+17n][16+23n][32+45n][34+47n][10+15n][40+55n][3+5n][27+38n][29+41n][37+52n][38+53n][26+37n][41+57n][23+32n][13+19n][36+50n][18+26n][40+56n][34+48n]===[42+58n][11+16n][28+39n][18+25n][9+13n][20+28n][17+24n][21+29n][5+8n][35+49n][30+42n][26+36n][10+14n][8+12n][32+44n][2+4n][39+54n][15+21n][13+18n][5+7n][4+6n][16+22n][1+2n][19+27n][29+40n][6+9n][24+33n][2+3n][8+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-43-20-34-46-31-35-30-51-10-17-23-45-47-15-55-5-38-41-52-53-37-57-32-19-50-26-56-48===58-16-39-25-13-28-24-29-8-49-42-36-14-12-44-4-54-21-18-7-6-22-2-27-40-9-33-3-11

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 43 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+59n.

Constatons que 11x43 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59