Pourquoi les périodes de n/59 en base 13+59n se regroupent elles en cette série ?

1-13-51-14-5-6-19-11-25-30-36-55-7-32-3-39-35-42-15-18-57-33-16-31-49-47-21-37-9===58-46-8-45-54-53-40-48-34-29-23-4-52-27-56-20-24-17-44-41-2-26-43-28-10-12-38-22-50

Calculons 1/59 en base 13+59n (13, 72, 131, ...) :

1/59 en base 13 = 0,0-2-11-3-1-1-4-2-5-6-7-12-1-7-0-8-7-9-3-3-12-7-3-6-10-10-4-8-1===12-10-1-9-11-11-8-10-7-6-5-0-11-5-12-4-5-3-9-9-0-5-9-6-2-2-8-4-11...

1/59 en base 72 = 0,1-15-62-17-6-7-23-13-30-36-43-67-8-39-3-47-42-51-18-21-69-40-19-37-59-57-25-45-10===70-56-9-54-65-64-48-58-41-35-28-4-63-32-68-24-29-20-53-50-2-31-52-34-12-14-46-26-61...

1/59 en base 131 = 0,2-28-113-31-11-13-42-24-55-66-79-122-15-71-6-86-77-93-33-39-126-73-35-68-108-104-46-82-19===128-102-17-99-119-117-88-106-75-64-51-8-115-59-124-44-53-37-97-91-4-57-95-62-22-26-84-48-111...

Et de manière générale en base 13+59n :

[n][2+13n][11+51n][3+14n][1+5n][1+6n][4+19n][2+11n][5+25n][6+30n][7+36n][12+55n][1+7n][7+32n][3n][8+39n][7+35n][9+42n][3+15n][3+18n][12+57n][7+33n][3+16n][6+31n][10+49n][10+47n][4+21n][8+37n][1+9n]===[12+58n][10+46n][1+8n][9+45n][11+54n][11+53n][8+40n][10+48n][7+34n][6+29n][5+23n][4n][11+52n][5+27n][12+56n][4+20n][5+24n][3+17n][9+44n][9+41n][2n][5+26n][9+43n][6+28n][2+10n][2+12n][8+38n][4+22n][11+50n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-13-51-14-5-6-19-11-25-30-36-55-7-32-3-39-35-42-15-18-57-33-16-31-49-47-21-37-9===58-46-8-45-54-53-40-48-34-29-23-4-52-27-56-20-24-17-44-41-2-26-43-28-10-12-38-22-50

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 50+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 50+59n. La série est alors :

1-50-22-38-12-10-28-43-26-2-41-44-17-24-20-56-27-52-4-23-29-34-48-40-53-54-45-8-46===58-9-37-21-47-49-31-16-33-57-18-15-42-35-39-3-32-7-55-36-30-25-11-19-6-5-14-51-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+59n.

Calculons 1/59 en base : 50, 109, 168, ...(50+59n) :

1/59 en base 50 = 0,0-42-18-32-10-8-23-36-22-1-34-37-14-20-16-47-22-44-3-19-24-28-40-33-44-45-38-6-38===49-7-31-17-39-41-26-13-27-48-15-12-35-29-33-2-27-5-46-30-25-21-9-16-5-4-11-43-11...

1/59 en base 109 = 0,1-92-40-70-22-18-51-79-48-3-75-81-31-44-36-103-49-96-7-42-53-62-88-73-97-99-83-14-84===107-16-68-38-86-90-57-29-60-105-33-27-77-64-72-5-59-12-101-66-55-46-20-35-11-9-25-94-24...

1/59 en base 168 = 0,2-142-62-108-34-28-79-122-74-5-116-125-48-68-56-159-76-148-11-65-82-96-136-113-150-153-128-22-130===165-25-105-59-133-139-88-45-93-162-51-42-119-99-111-8-91-19-156-102-85-71-31-54-17-14-39-145-37...

Et de manière générale en base 50+59n :

[n][42+50n][18+22n][32+38n][10+12n][8+10n][23+28n][36+43n][22+26n][1+2n][34+41n][37+44n][14+17n][20+24n][16+20n][47+56n][22+27n][44+52n][3+4n][19+23n][24+29n][28+34n][40+48n][33+40n][44+53n][45+54n][38+45n][6+8n][38+46n]===[49+58n][7+9n][31+37n][17+21n][39+47n][41+49n][26+31n][13+16n][27+33n][48+57n][15+18n][12+15n][35+42n][29+35n][33+39n][2+3n][27+32n][5+7n][46+55n][30+36n][25+30n][21+25n][9+11n][16+19n][5+6n][4+5n][11+14n][43+51n][11+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-50-22-38-12-10-28-43-26-2-41-44-17-24-20-56-27-52-4-23-29-34-48-40-53-54-45-8-46===58-9-37-21-47-49-31-16-33-57-18-15-42-35-39-3-32-7-55-36-30-25-11-19-6-5-14-51-13

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 50 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+59n.

Constatons que 13x50 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59