Pourquoi les périodes de n/59 en base 14+59n se regroupent elles en cette série ?

1-14-19-30-7-39-15-33-49-37-46-54-48-23-27-24-41-43-12-50-51-6-25-55-3-42-57-31-21===58-45-40-29-52-20-44-26-10-22-13-5-11-36-32-35-18-16-47-9-8-53-34-4-56-17-2-28-38

Calculons 1/59 en base 14+59n (14, 73, 132, ...) :

1/59 en base 14 = 0,0-3-4-7-1-9-3-7-11-8-10-12-11-5-6-5-9-10-2-11-12-1-5-13-0-9-13-7-4===13-10-9-6-12-4-10-6-2-5-3-1-2-8-7-8-4-3-11-2-1-12-8-0-13-4-0-6-9...

1/59 en base 73 = 0,1-17-23-37-8-48-18-40-60-45-56-66-59-28-33-29-50-53-14-61-63-7-30-68-3-51-70-38-25===71-55-49-35-64-24-54-32-12-27-16-6-13-44-39-43-22-19-58-11-9-65-42-4-69-21-2-34-47...

1/59 en base 132 = 0,2-31-42-67-15-87-33-73-109-82-102-120-107-51-60-53-91-96-26-111-114-13-55-123-6-93-127-69-46===129-100-89-64-116-44-98-58-22-49-29-11-24-80-71-78-40-35-105-20-17-118-76-8-125-38-4-62-85...

Et de manière générale en base 14+59n :

[n][3+14n][4+19n][7+30n][1+7n][9+39n][3+15n][7+33n][11+49n][8+37n][10+46n][12+54n][11+48n][5+23n][6+27n][5+24n][9+41n][10+43n][2+12n][11+50n][12+51n][1+6n][5+25n][13+55n][3n][9+42n][13+57n][7+31n][4+21n]===[13+58n][10+45n][9+40n][6+29n][12+52n][4+20n][10+44n][6+26n][2+10n][5+22n][3+13n][1+5n][2+11n][8+36n][7+32n][8+35n][4+18n][3+16n][11+47n][2+9n][1+8n][12+53n][8+34n][4n][13+56n][4+17n][2n][6+28n][9+38n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-14-19-30-7-39-15-33-49-37-46-54-48-23-27-24-41-43-12-50-51-6-25-55-3-42-57-31-21===58-45-40-29-52-20-44-26-10-22-13-5-11-36-32-35-18-16-47-9-8-53-34-4-56-17-2-28-38

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 38+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 38+59n. La série est alors :

1-38-28-2-17-56-4-34-53-8-9-47-16-18-35-32-36-11-5-13-22-10-26-44-20-52-29-40-45===58-21-31-57-42-3-55-25-6-51-50-12-43-41-24-27-23-48-54-46-37-49-33-15-39-7-30-19-14

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 14+59n.

Calculons 1/59 en base : 38, 97, 156, ...(38+59n) :

1/59 en base 38 = 0,0-24-18-1-10-36-2-21-34-5-5-30-10-11-22-20-23-7-3-8-14-6-16-28-12-33-18-25-28===37-13-19-36-27-1-35-16-3-32-32-7-27-26-15-17-14-30-34-29-23-31-21-9-25-4-19-12-9...

1/59 en base 97 = 0,1-62-46-3-27-92-6-55-87-13-14-77-26-29-57-52-59-18-8-21-36-16-42-72-32-85-47-65-73===95-34-50-93-69-4-90-41-9-83-82-19-70-67-39-44-37-78-88-75-60-80-54-24-64-11-49-31-23...

1/59 en base 156 = 0,2-100-74-5-44-148-10-89-140-21-23-124-42-47-92-84-95-29-13-34-58-26-68-116-52-137-76-105-118===153-55-81-150-111-7-145-66-15-134-132-31-113-108-63-71-60-126-142-121-97-129-87-39-103-18-79-50-37...

Et de manière générale en base 38+59n :

[n][24+38n][18+28n][1+2n][10+17n][36+56n][2+4n][21+34n][34+53n][5+8n][5+9n][30+47n][10+16n][11+18n][22+35n][20+32n][23+36n][7+11n][3+5n][8+13n][14+22n][6+10n][16+26n][28+44n][12+20n][33+52n][18+29n][25+40n][28+45n]===[37+58n][13+21n][19+31n][36+57n][27+42n][1+3n][35+55n][16+25n][3+6n][32+51n][32+50n][7+12n][27+43n][26+41n][15+24n][17+27n][14+23n][30+48n][34+54n][29+46n][23+37n][31+49n][21+33n][9+15n][25+39n][4+7n][19+30n][12+19n][9+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-38-28-2-17-56-4-34-53-8-9-47-16-18-35-32-36-11-5-13-22-10-26-44-20-52-29-40-45===58-21-31-57-42-3-55-25-6-51-50-12-43-41-24-27-23-48-54-46-37-49-33-15-39-7-30-19-14

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 38 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 14+59n.

Constatons que 14x38 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59