Pourquoi les périodes de n/59 en base 18+59n se regroupent elles en cette série ?

1-18-29-50-15-34-22-42-48-38-35-40-12-39-53-10-3-54-28-32-45-43-7-8-26-55-46-2-36===58-41-30-9-44-25-37-17-11-21-24-19-47-20-6-49-56-5-31-27-14-16-52-51-33-4-13-57-23

Calculons 1/59 en base 18+59n (18, 77, 136, ...) :

1/59 en base 18 = 0,0-5-8-15-4-10-6-12-14-11-10-12-3-11-16-3-0-16-8-9-13-13-2-2-7-16-14-0-10===17-12-9-2-13-7-11-5-3-6-7-5-14-6-1-14-17-1-9-8-4-4-15-15-10-1-3-17-7...

1/59 en base 77 = 0,1-23-37-65-19-44-28-54-62-49-45-52-15-50-69-13-3-70-36-41-58-56-9-10-33-71-60-2-46===75-53-39-11-57-32-48-22-14-27-31-24-61-26-7-63-73-6-40-35-18-20-67-66-43-5-16-74-30...

1/59 en base 136 = 0,2-41-66-115-34-78-50-96-110-87-80-92-27-89-122-23-6-124-64-73-103-99-16-18-59-126-106-4-82===133-94-69-20-101-57-85-39-25-48-55-43-108-46-13-112-129-11-71-62-32-36-119-117-76-9-29-131-53...

Et de manière générale en base 18+59n :

[n][5+18n][8+29n][15+50n][4+15n][10+34n][6+22n][12+42n][14+48n][11+38n][10+35n][12+40n][3+12n][11+39n][16+53n][3+10n][3n][16+54n][8+28n][9+32n][13+45n][13+43n][2+7n][2+8n][7+26n][16+55n][14+46n][2n][10+36n]===[17+58n][12+41n][9+30n][2+9n][13+44n][7+25n][11+37n][5+17n][3+11n][6+21n][7+24n][5+19n][14+47n][6+20n][1+6n][14+49n][17+56n][1+5n][9+31n][8+27n][4+14n][4+16n][15+52n][15+51n][10+33n][1+4n][3+13n][17+57n][7+23n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-18-29-50-15-34-22-42-48-38-35-40-12-39-53-10-3-54-28-32-45-43-7-8-26-55-46-2-36===58-41-30-9-44-25-37-17-11-21-24-19-47-20-6-49-56-5-31-27-14-16-52-51-33-4-13-57-23

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 23+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 23+59n. La série est alors :

1-23-57-13-4-33-51-52-16-14-27-31-5-56-49-6-20-47-19-24-21-11-17-37-25-44-9-30-41===58-36-2-46-55-26-8-7-43-45-32-28-54-3-10-53-39-12-40-35-38-48-42-22-34-15-50-29-18

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 18+59n.

Calculons 1/59 en base : 23, 82, 141, ...(23+59n) :

1/59 en base 23 = 0,0-8-22-5-1-12-19-20-6-5-10-12-1-21-19-2-7-18-7-9-8-4-6-14-9-17-3-11-15===22-14-0-17-21-10-3-2-16-17-12-10-21-1-3-20-15-4-15-13-14-18-16-8-13-5-19-11-7...

1/59 en base 82 = 0,1-31-79-18-5-45-70-72-22-19-37-43-6-77-68-8-27-65-26-33-29-15-23-51-34-61-12-41-56===80-50-2-63-76-36-11-9-59-62-44-38-75-4-13-73-54-16-55-48-52-66-58-30-47-20-69-40-25...

1/59 en base 141 = 0,2-54-136-31-9-78-121-124-38-33-64-74-11-133-117-14-47-112-45-57-50-26-40-88-59-105-21-71-97===138-86-4-109-131-62-19-16-102-107-76-66-129-7-23-126-93-28-95-83-90-114-100-52-81-35-119-69-43...

Et de manière générale en base 23+59n :

[n][8+23n][22+57n][5+13n][1+4n][12+33n][19+51n][20+52n][6+16n][5+14n][10+27n][12+31n][1+5n][21+56n][19+49n][2+6n][7+20n][18+47n][7+19n][9+24n][8+21n][4+11n][6+17n][14+37n][9+25n][17+44n][3+9n][11+30n][15+41n]===[22+58n][14+36n][2n][17+46n][21+55n][10+26n][3+8n][2+7n][16+43n][17+45n][12+32n][10+28n][21+54n][1+3n][3+10n][20+53n][15+39n][4+12n][15+40n][13+35n][14+38n][18+48n][16+42n][8+22n][13+34n][5+15n][19+50n][11+29n][7+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-23-57-13-4-33-51-52-16-14-27-31-5-56-49-6-20-47-19-24-21-11-17-37-25-44-9-30-41===58-36-2-46-55-26-8-7-43-45-32-28-54-3-10-53-39-12-40-35-38-48-42-22-34-15-50-29-18

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 23 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 18+59n.

Constatons que 18x23 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59