Pourquoi les périodes de n/59 en base 24+59n se regroupent elles en cette série ?

1-24-45-18-19-43-29-47-7-50-20-8-15-6-26-34-49-55-22-56-46-42-5-2-48-31-36-38-27===58-35-14-41-40-16-30-12-52-9-39-51-44-53-33-25-10-4-37-3-13-17-54-57-11-28-23-21-32

Calculons 1/59 en base 24+59n (24, 83, 142, ...) :

1/59 en base 24 = 0,0-9-18-7-7-17-11-19-2-20-8-3-6-2-10-13-19-22-8-22-18-17-2-0-19-12-14-15-10===23-14-5-16-16-6-12-4-21-3-15-20-17-21-13-10-4-1-15-1-5-6-21-23-4-11-9-8-13...

1/59 en base 83 = 0,1-33-63-25-26-60-40-66-9-70-28-11-21-8-36-47-68-77-30-78-64-59-7-2-67-43-50-53-37===81-49-19-57-56-22-42-16-73-12-54-71-61-74-46-35-14-5-52-4-18-23-75-80-15-39-32-29-45...

1/59 en base 142 = 0,2-57-108-43-45-103-69-113-16-120-48-19-36-14-62-81-117-132-52-134-110-101-12-4-115-74-86-91-64===139-84-33-98-96-38-72-28-125-21-93-122-105-127-79-60-24-9-89-7-31-40-129-137-26-67-55-50-77...

Et de manière générale en base 24+59n :

[n][9+24n][18+45n][7+18n][7+19n][17+43n][11+29n][19+47n][2+7n][20+50n][8+20n][3+8n][6+15n][2+6n][10+26n][13+34n][19+49n][22+55n][8+22n][22+56n][18+46n][17+42n][2+5n][2n][19+48n][12+31n][14+36n][15+38n][10+27n]===[23+58n][14+35n][5+14n][16+41n][16+40n][6+16n][12+30n][4+12n][21+52n][3+9n][15+39n][20+51n][17+44n][21+53n][13+33n][10+25n][4+10n][1+4n][15+37n][1+3n][5+13n][6+17n][21+54n][23+57n][4+11n][11+28n][9+23n][8+21n][13+32n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-24-45-18-19-43-29-47-7-50-20-8-15-6-26-34-49-55-22-56-46-42-5-2-48-31-36-38-27===58-35-14-41-40-16-30-12-52-9-39-51-44-53-33-25-10-4-37-3-13-17-54-57-11-28-23-21-32

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 24 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 32+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 32+59n. La série est alors :

1-32-21-23-28-11-57-54-17-13-3-37-4-10-25-33-53-44-51-39-9-52-12-30-16-40-41-14-35===58-27-38-36-31-48-2-5-42-46-56-22-55-49-34-26-6-15-8-20-50-7-47-29-43-19-18-45-24

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 24+59n.

Calculons 1/59 en base : 32, 91, 150, ...(32+59n) :

1/59 en base 32 = 0,0-17-11-12-15-5-30-29-9-7-1-20-2-5-13-17-28-23-27-21-4-28-6-16-8-21-22-7-18===31-14-20-19-16-26-1-2-22-24-30-11-29-26-18-14-3-8-4-10-27-3-25-15-23-10-9-24-13...

1/59 en base 91 = 0,1-49-32-35-43-16-87-83-26-20-4-57-6-15-38-50-81-67-78-60-13-80-18-46-24-61-63-21-53===89-41-58-55-47-74-3-7-64-70-86-33-84-75-52-40-9-23-12-30-77-10-72-44-66-29-27-69-37...

1/59 en base 150 = 0,2-81-53-58-71-27-144-137-43-33-7-94-10-25-63-83-134-111-129-99-22-132-30-76-40-101-104-35-88===147-68-96-91-78-122-5-12-106-116-142-55-139-124-86-66-15-38-20-50-127-17-119-73-109-48-45-114-61...

Et de manière générale en base 32+59n :

[n][17+32n][11+21n][12+23n][15+28n][5+11n][30+57n][29+54n][9+17n][7+13n][1+3n][20+37n][2+4n][5+10n][13+25n][17+33n][28+53n][23+44n][27+51n][21+39n][4+9n][28+52n][6+12n][16+30n][8+16n][21+40n][22+41n][7+14n][18+35n]===[31+58n][14+27n][20+38n][19+36n][16+31n][26+48n][1+2n][2+5n][22+42n][24+46n][30+56n][11+22n][29+55n][26+49n][18+34n][14+26n][3+6n][8+15n][4+8n][10+20n][27+50n][3+7n][25+47n][15+29n][23+43n][10+19n][9+18n][24+45n][13+24n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-32-21-23-28-11-57-54-17-13-3-37-4-10-25-33-53-44-51-39-9-52-12-30-16-40-41-14-35===58-27-38-36-31-48-2-5-42-46-56-22-55-49-34-26-6-15-8-20-50-7-47-29-43-19-18-45-24

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 32 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 24+59n.

Constatons que 24x32 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59