Pourquoi les périodes de n/59 en base 31+59n se regroupent elles en cette série ?

1-31-17-55-53-50-16-24-36-54-22-33-20-30-45-38-57-56-25-8-12-18-27-11-46-10-15-52-19===58-28-42-4-6-9-43-35-23-5-37-26-39-29-14-21-2-3-34-51-47-41-32-48-13-49-44-7-40

Calculons 1/59 en base 31+59n (31, 90, 149, ...) :

1/59 en base 31 = 0,0-16-8-28-27-26-8-12-18-28-11-17-10-15-23-19-29-29-13-4-6-9-14-5-24-5-7-27-9===30-14-22-2-3-4-22-18-12-2-19-13-20-15-7-11-1-1-17-26-24-21-16-25-6-25-23-3-21...

1/59 en base 90 = 0,1-47-25-83-80-76-24-36-54-82-33-50-30-45-68-57-86-85-38-12-18-27-41-16-70-15-22-79-28===88-42-64-6-9-13-65-53-35-7-56-39-59-44-21-32-3-4-51-77-71-62-48-73-19-74-67-10-61...

1/59 en base 149 = 0,2-78-42-138-133-126-40-60-90-136-55-83-50-75-113-95-143-141-63-20-30-45-68-27-116-25-37-131-47===146-70-106-10-15-22-108-88-58-12-93-65-98-73-35-53-5-7-85-128-118-103-80-121-32-123-111-17-101...

Et de manière générale en base 31+59n :

[n][16+31n][8+17n][28+55n][27+53n][26+50n][8+16n][12+24n][18+36n][28+54n][11+22n][17+33n][10+20n][15+30n][23+45n][19+38n][29+57n][29+56n][13+25n][4+8n][6+12n][9+18n][14+27n][5+11n][24+46n][5+10n][7+15n][27+52n][9+19n]===[30+58n][14+28n][22+42n][2+4n][3+6n][4+9n][22+43n][18+35n][12+23n][2+5n][19+37n][13+26n][20+39n][15+29n][7+14n][11+21n][1+2n][1+3n][17+34n][26+51n][24+47n][21+41n][16+32n][25+48n][6+13n][25+49n][23+44n][3+7n][21+40n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-31-17-55-53-50-16-24-36-54-22-33-20-30-45-38-57-56-25-8-12-18-27-11-46-10-15-52-19===58-28-42-4-6-9-43-35-23-5-37-26-39-29-14-21-2-3-34-51-47-41-32-48-13-49-44-7-40

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 31 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 40+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 40+59n. La série est alors :

1-40-7-44-49-13-48-32-41-47-51-34-3-2-21-14-29-39-26-37-5-23-35-43-9-6-4-42-28===58-19-52-15-10-46-11-27-18-12-8-25-56-57-38-45-30-20-33-22-54-36-24-16-50-53-55-17-31

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 31+59n.

Calculons 1/59 en base : 40, 99, 158, ...(40+59n) :

1/59 en base 40 = 0,0-27-4-29-33-8-32-21-27-31-34-23-2-1-14-9-19-26-17-25-3-15-23-29-6-4-2-28-18===39-12-35-10-6-31-7-18-12-8-5-16-37-38-25-30-20-13-22-14-36-24-16-10-33-35-37-11-21...

1/59 en base 99 = 0,1-67-11-73-82-21-80-53-68-78-85-57-5-3-35-23-48-65-43-62-8-38-58-72-15-10-6-70-46===97-31-87-25-16-77-18-45-30-20-13-41-93-95-63-75-50-33-55-36-90-60-40-26-83-88-92-28-52...

1/59 en base 158 = 0,2-107-18-117-131-34-128-85-109-125-136-91-8-5-56-37-77-104-69-99-13-61-93-115-24-16-10-112-74===155-50-139-40-26-123-29-72-48-32-21-66-149-152-101-120-80-53-88-58-144-96-64-42-133-141-147-45-83...

Et de manière générale en base 40+59n :

[n][27+40n][4+7n][29+44n][33+49n][8+13n][32+48n][21+32n][27+41n][31+47n][34+51n][23+34n][2+3n][1+2n][14+21n][9+14n][19+29n][26+39n][17+26n][25+37n][3+5n][15+23n][23+35n][29+43n][6+9n][4+6n][2+4n][28+42n][18+28n]===[39+58n][12+19n][35+52n][10+15n][6+10n][31+46n][7+11n][18+27n][12+18n][8+12n][5+8n][16+25n][37+56n][38+57n][25+38n][30+45n][20+30n][13+20n][22+33n][14+22n][36+54n][24+36n][16+24n][10+16n][33+50n][35+53n][37+55n][11+17n][21+31n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-40-7-44-49-13-48-32-41-47-51-34-3-2-21-14-29-39-26-37-5-23-35-43-9-6-4-42-28===58-19-52-15-10-46-11-27-18-12-8-25-56-57-38-45-30-20-33-22-54-36-24-16-50-53-55-17-31

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 40 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 31+59n.

Constatons que 31x40 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59