Pourquoi les périodes de n/59 en base 33+59n se regroupent elles en cette série ?

1-33-27-6-21-44-36-8-28-39-48-50-57-52-5-47-17-30-46-43-3-40-22-18-4-14-49-24-25===58-26-32-53-38-15-23-51-31-20-11-9-2-7-54-12-42-29-13-16-56-19-37-41-55-45-10-35-34

Calculons 1/59 en base 33+59n (33, 92, 151, ...) :

1/59 en base 33 = 0,0-18-15-3-11-24-20-4-15-21-26-27-31-29-2-26-9-16-25-24-1-22-12-10-2-7-27-13-13===32-14-17-29-21-8-12-28-17-11-6-5-1-3-30-6-23-16-7-8-31-10-20-22-30-25-5-19-19...

1/59 en base 92 = 0,1-51-42-9-32-68-56-12-43-60-74-77-88-81-7-73-26-46-71-67-4-62-34-28-6-21-76-37-38===90-40-49-82-59-23-35-79-48-31-17-14-3-10-84-18-65-45-20-24-87-29-57-63-85-70-15-54-53...

1/59 en base 151 = 0,2-84-69-15-53-112-92-20-71-99-122-127-145-133-12-120-43-76-117-110-7-102-56-46-10-35-125-61-63===148-66-81-135-97-38-58-130-79-51-28-23-5-17-138-30-107-74-33-40-143-48-94-104-140-115-25-89-87...

Et de manière générale en base 33+59n :

[n][18+33n][15+27n][3+6n][11+21n][24+44n][20+36n][4+8n][15+28n][21+39n][26+48n][27+50n][31+57n][29+52n][2+5n][26+47n][9+17n][16+30n][25+46n][24+43n][1+3n][22+40n][12+22n][10+18n][2+4n][7+14n][27+49n][13+24n][13+25n]===[32+58n][14+26n][17+32n][29+53n][21+38n][8+15n][12+23n][28+51n][17+31n][11+20n][6+11n][5+9n][1+2n][3+7n][30+54n][6+12n][23+42n][16+29n][7+13n][8+16n][31+56n][10+19n][20+37n][22+41n][30+55n][25+45n][5+10n][19+35n][19+34n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-33-27-6-21-44-36-8-28-39-48-50-57-52-5-47-17-30-46-43-3-40-22-18-4-14-49-24-25===58-26-32-53-38-15-23-51-31-20-11-9-2-7-54-12-42-29-13-16-56-19-37-41-55-45-10-35-34

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 33 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 34+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 34+59n. La série est alors :

1-34-35-10-45-55-41-37-19-56-16-13-29-42-12-54-7-2-9-11-20-31-51-23-15-38-53-32-26===58-25-24-49-14-4-18-22-40-3-43-46-30-17-47-5-52-57-50-48-39-28-8-36-44-21-6-27-33

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 33+59n.

Calculons 1/59 en base : 34, 93, 152, ...(34+59n) :

1/59 en base 34 = 0,0-19-20-5-25-31-23-21-10-32-9-7-16-24-6-31-4-1-5-6-11-17-29-13-8-21-30-18-14===33-14-13-28-8-2-10-12-23-1-24-26-17-9-27-2-29-32-28-27-22-16-4-20-25-12-3-15-19...

1/59 en base 93 = 0,1-53-55-15-70-86-64-58-29-88-25-20-45-66-18-85-11-3-14-17-31-48-80-36-23-59-83-50-40===91-39-37-77-22-6-28-34-63-4-67-72-47-26-74-7-81-89-78-75-61-44-12-56-69-33-9-42-52...

1/59 en base 152 = 0,2-87-90-25-115-141-105-95-48-144-41-33-74-108-30-139-18-5-23-28-51-79-131-59-38-97-136-82-66===149-64-61-126-36-10-46-56-103-7-110-118-77-43-121-12-133-146-128-123-100-72-20-92-113-54-15-69-85...

Et de manière générale en base 34+59n :

[n][19+34n][20+35n][5+10n][25+45n][31+55n][23+41n][21+37n][10+19n][32+56n][9+16n][7+13n][16+29n][24+42n][6+12n][31+54n][4+7n][1+2n][5+9n][6+11n][11+20n][17+31n][29+51n][13+23n][8+15n][21+38n][30+53n][18+32n][14+26n]===[33+58n][14+25n][13+24n][28+49n][8+14n][2+4n][10+18n][12+22n][23+40n][1+3n][24+43n][26+46n][17+30n][9+17n][27+47n][2+5n][29+52n][32+57n][28+50n][27+48n][22+39n][16+28n][4+8n][20+36n][25+44n][12+21n][3+6n][15+27n][19+33n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-34-35-10-45-55-41-37-19-56-16-13-29-42-12-54-7-2-9-11-20-31-51-23-15-38-53-32-26===58-25-24-49-14-4-18-22-40-3-43-46-30-17-47-5-52-57-50-48-39-28-8-36-44-21-6-27-33

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 34 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 33+59n.

Constatons que 33x34 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59