Pourquoi les périodes de n/59 en base 39+59n se regroupent elles en cette série ?

1-39-46-24-51-42-45-44-5-18-53-2-19-33-48-43-25-31-29-10-36-47-4-38-7-37-27-50-3===58-20-13-35-8-17-14-15-54-41-6-57-40-26-11-16-34-28-30-49-23-12-55-21-52-22-32-9-56

Calculons 1/59 en base 39+59n (39, 98, 157, ...) :

1/59 en base 39 = 0,0-25-30-15-33-27-29-29-3-11-35-1-12-21-31-28-16-20-19-6-23-31-2-25-4-24-17-33-1===38-13-8-23-5-11-9-9-35-27-3-37-26-17-7-10-22-18-19-32-15-7-36-13-34-14-21-5-37...

1/59 en base 98 = 0,1-64-76-39-84-69-74-73-8-29-88-3-31-54-79-71-41-51-48-16-59-78-6-63-11-61-44-83-4===96-33-21-58-13-28-23-24-89-68-9-94-66-43-18-26-56-46-49-81-38-19-91-34-86-36-53-14-93...

1/59 en base 157 = 0,2-103-122-63-135-111-119-117-13-47-141-5-50-87-127-114-66-82-77-26-95-125-10-101-18-98-71-133-7===154-53-34-93-21-45-37-39-143-109-15-151-106-69-29-42-90-74-79-130-61-31-146-55-138-58-85-23-149...

Et de manière générale en base 39+59n :

[n][25+39n][30+46n][15+24n][33+51n][27+42n][29+45n][29+44n][3+5n][11+18n][35+53n][1+2n][12+19n][21+33n][31+48n][28+43n][16+25n][20+31n][19+29n][6+10n][23+36n][31+47n][2+4n][25+38n][4+7n][24+37n][17+27n][33+50n][1+3n]===[38+58n][13+20n][8+13n][23+35n][5+8n][11+17n][9+14n][9+15n][35+54n][27+41n][3+6n][37+57n][26+40n][17+26n][7+11n][10+16n][22+34n][18+28n][19+30n][32+49n][15+23n][7+12n][36+55n][13+21n][34+52n][14+22n][21+32n][5+9n][37+56n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-39-46-24-51-42-45-44-5-18-53-2-19-33-48-43-25-31-29-10-36-47-4-38-7-37-27-50-3===58-20-13-35-8-17-14-15-54-41-6-57-40-26-11-16-34-28-30-49-23-12-55-21-52-22-32-9-56

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 39 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 56+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 56+59n. La série est alors :

1-56-9-32-22-52-21-55-12-23-49-30-28-34-16-11-26-40-57-6-41-54-15-14-17-8-35-13-20===58-3-50-27-37-7-38-4-47-36-10-29-31-25-43-48-33-19-2-53-18-5-44-45-42-51-24-46-39

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 39+59n.

Calculons 1/59 en base : 56, 115, 174, ...(56+59n) :

1/59 en base 56 = 0,0-53-8-30-20-49-19-52-11-21-46-28-26-32-15-10-24-37-54-5-38-51-14-13-16-7-33-12-18===55-2-47-25-35-6-36-3-44-34-9-27-29-23-40-45-31-18-1-50-17-4-41-42-39-48-22-43-37...

1/59 en base 115 = 0,1-109-17-62-42-101-40-107-23-44-95-58-54-66-31-21-50-77-111-11-79-105-29-27-33-15-68-25-38===113-5-97-52-72-13-74-7-91-70-19-56-60-48-83-93-64-37-3-103-35-9-85-87-81-99-46-89-76...

1/59 en base 174 = 0,2-165-26-94-64-153-61-162-35-67-144-88-82-100-47-32-76-117-168-17-120-159-44-41-50-23-103-38-58===171-8-147-79-109-20-112-11-138-106-29-85-91-73-126-141-97-56-5-156-53-14-129-132-123-150-70-135-115...

Et de manière générale en base 56+59n :

[n][53+56n][8+9n][30+32n][20+22n][49+52n][19+21n][52+55n][11+12n][21+23n][46+49n][28+30n][26+28n][32+34n][15+16n][10+11n][24+26n][37+40n][54+57n][5+6n][38+41n][51+54n][14+15n][13+14n][16+17n][7+8n][33+35n][12+13n][18+20n]===[55+58n][2+3n][47+50n][25+27n][35+37n][6+7n][36+38n][3+4n][44+47n][34+36n][9+10n][27+29n][29+31n][23+25n][40+43n][45+48n][31+33n][18+19n][1+2n][50+53n][17+18n][4+5n][41+44n][42+45n][39+42n][48+51n][22+24n][43+46n][37+39n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-56-9-32-22-52-21-55-12-23-49-30-28-34-16-11-26-40-57-6-41-54-15-14-17-8-35-13-20===58-3-50-27-37-7-38-4-47-36-10-29-31-25-43-48-33-19-2-53-18-5-44-45-42-51-24-46-39

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 56 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 39+59n.

Constatons que 39x56 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59