Pourquoi les périodes de n/59 en base 42+59n se regroupent elles en cette série ?

1-42-53-43-36-37-20-14-57-34-12-32-46-44-19-31-4-50-35-54-26-30-21-56-51-18-48-10-7===58-17-6-16-23-22-39-45-2-25-47-27-13-15-40-28-55-9-24-5-33-29-38-3-8-41-11-49-52

Calculons 1/59 en base 42+59n (42, 101, 160, ...) :

1/59 en base 42 = 0,0-29-37-30-25-26-14-9-40-24-8-22-32-31-13-22-2-35-24-38-18-21-14-39-36-12-34-7-4===41-12-4-11-16-15-27-32-1-17-33-19-9-10-28-19-39-6-17-3-23-20-27-2-5-29-7-34-37...

1/59 en base 101 = 0,1-71-90-73-61-63-34-23-97-58-20-54-78-75-32-53-6-85-59-92-44-51-35-95-87-30-82-17-11===99-29-10-27-39-37-66-77-3-42-80-46-22-25-68-47-94-15-41-8-56-49-65-5-13-70-18-83-89...

1/59 en base 160 = 0,2-113-143-116-97-100-54-37-154-92-32-86-124-119-51-84-10-135-94-146-70-81-56-151-138-48-130-27-18===157-46-16-43-62-59-105-122-5-67-127-73-35-40-108-75-149-24-65-13-89-78-103-8-21-111-29-132-141...

Et de manière générale en base 42+59n :

[n][29+42n][37+53n][30+43n][25+36n][26+37n][14+20n][9+14n][40+57n][24+34n][8+12n][22+32n][32+46n][31+44n][13+19n][22+31n][2+4n][35+50n][24+35n][38+54n][18+26n][21+30n][14+21n][39+56n][36+51n][12+18n][34+48n][7+10n][4+7n]===[41+58n][12+17n][4+6n][11+16n][16+23n][15+22n][27+39n][32+45n][1+2n][17+25n][33+47n][19+27n][9+13n][10+15n][28+40n][19+28n][39+55n][6+9n][17+24n][3+5n][23+33n][20+29n][27+38n][2+3n][5+8n][29+41n][7+11n][34+49n][37+52n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-42-53-43-36-37-20-14-57-34-12-32-46-44-19-31-4-50-35-54-26-30-21-56-51-18-48-10-7===58-17-6-16-23-22-39-45-2-25-47-27-13-15-40-28-55-9-24-5-33-29-38-3-8-41-11-49-52

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 42 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 52+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 52+59n. La série est alors :

1-52-49-11-41-8-3-38-29-33-5-24-9-55-28-40-15-13-27-47-25-2-45-39-22-23-16-6-17===58-7-10-48-18-51-56-21-30-26-54-35-50-4-31-19-44-46-32-12-34-57-14-20-37-36-43-53-42

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 42+59n.

Calculons 1/59 en base : 52, 111, 170, ...(52+59n) :

1/59 en base 52 = 0,0-45-43-9-36-7-2-33-25-29-4-21-7-48-24-35-13-11-23-41-22-1-39-34-19-20-14-5-14===51-6-8-42-15-44-49-18-26-22-47-30-44-3-27-16-38-40-28-10-29-50-12-17-32-31-37-46-37...

1/59 en base 111 = 0,1-97-92-20-77-15-5-71-54-62-9-45-16-103-52-75-28-24-50-88-47-3-84-73-41-43-30-11-31===109-13-18-90-33-95-105-39-56-48-101-65-94-7-58-35-82-86-60-22-63-107-26-37-69-67-80-99-79...

1/59 en base 170 = 0,2-149-141-31-118-23-8-109-83-95-14-69-25-158-80-115-43-37-77-135-72-5-129-112-63-66-46-17-48===167-20-28-138-51-146-161-60-86-74-155-100-144-11-89-54-126-132-92-34-97-164-40-57-106-103-123-152-121...

Et de manière générale en base 52+59n :

[n][45+52n][43+49n][9+11n][36+41n][7+8n][2+3n][33+38n][25+29n][29+33n][4+5n][21+24n][7+9n][48+55n][24+28n][35+40n][13+15n][11+13n][23+27n][41+47n][22+25n][1+2n][39+45n][34+39n][19+22n][20+23n][14+16n][5+6n][14+17n]===[51+58n][6+7n][8+10n][42+48n][15+18n][44+51n][49+56n][18+21n][26+30n][22+26n][47+54n][30+35n][44+50n][3+4n][27+31n][16+19n][38+44n][40+46n][28+32n][10+12n][29+34n][50+57n][12+14n][17+20n][32+37n][31+36n][37+43n][46+53n][37+42n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-52-49-11-41-8-3-38-29-33-5-24-9-55-28-40-15-13-27-47-25-2-45-39-22-23-16-6-17===58-7-10-48-18-51-56-21-30-26-54-35-50-4-31-19-44-46-32-12-34-57-14-20-37-36-43-53-42

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 52 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 42+59n.

Constatons que 42x52 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59