Pourquoi les périodes de n/59 en base 44+59n se regroupent elles en cette série ?

1-44-48-47-3-14-26-23-9-42-19-10-27-8-57-30-22-24-53-31-7-13-41-34-21-39-5-43-4===58-15-11-12-56-45-33-36-50-17-40-49-32-51-2-29-37-35-6-28-52-46-18-25-38-20-54-16-55

Calculons 1/59 en base 44+59n (44, 103, 162, ...) :

1/59 en base 44 = 0,0-32-35-35-2-10-19-17-6-31-14-7-20-5-42-22-16-17-39-23-5-9-30-25-15-29-3-32-2===43-11-8-8-41-33-24-26-37-12-29-36-23-38-1-21-27-26-4-20-38-34-13-18-28-14-40-11-41...

1/59 en base 103 = 0,1-76-83-82-5-24-45-40-15-73-33-17-47-13-99-52-38-41-92-54-12-22-71-59-36-68-8-75-6===101-26-19-20-97-78-57-62-87-29-69-85-55-89-3-50-64-61-10-48-90-80-31-43-66-34-94-27-96...

1/59 en base 162 = 0,2-120-131-129-8-38-71-63-24-115-52-27-74-21-156-82-60-65-145-85-19-35-112-93-57-107-13-118-10===159-41-30-32-153-123-90-98-137-46-109-134-87-140-5-79-101-96-16-76-142-126-49-68-104-54-148-43-151...

Et de manière générale en base 44+59n :

[n][32+44n][35+48n][35+47n][2+3n][10+14n][19+26n][17+23n][6+9n][31+42n][14+19n][7+10n][20+27n][5+8n][42+57n][22+30n][16+22n][17+24n][39+53n][23+31n][5+7n][9+13n][30+41n][25+34n][15+21n][29+39n][3+5n][32+43n][2+4n]===[43+58n][11+15n][8+11n][8+12n][41+56n][33+45n][24+33n][26+36n][37+50n][12+17n][29+40n][36+49n][23+32n][38+51n][1+2n][21+29n][27+37n][26+35n][4+6n][20+28n][38+52n][34+46n][13+18n][18+25n][28+38n][14+20n][40+54n][11+16n][41+55n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-44-48-47-3-14-26-23-9-42-19-10-27-8-57-30-22-24-53-31-7-13-41-34-21-39-5-43-4===58-15-11-12-56-45-33-36-50-17-40-49-32-51-2-29-37-35-6-28-52-46-18-25-38-20-54-16-55

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 44 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 55+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 55+59n. La série est alors :

1-55-16-54-20-38-25-18-46-52-28-6-35-37-29-2-51-32-49-40-17-50-36-33-45-56-12-11-15===58-4-43-5-39-21-34-41-13-7-31-53-24-22-30-57-8-27-10-19-42-9-23-26-14-3-47-48-44

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 44+59n.

Calculons 1/59 en base : 55, 114, 173, ...(55+59n) :

1/59 en base 55 = 0,0-51-14-50-18-35-23-16-42-48-26-5-32-34-27-1-47-29-45-37-15-46-33-30-41-52-11-10-13===54-3-40-4-36-19-31-38-12-6-28-49-22-20-27-53-7-25-9-17-39-8-21-24-13-2-43-44-41...

1/59 en base 114 = 0,1-106-30-104-38-73-48-34-88-100-54-11-67-71-56-3-98-61-94-77-32-96-69-63-86-108-23-21-28===112-7-83-9-75-40-65-79-25-13-59-102-46-42-57-110-15-52-19-36-81-17-44-50-27-5-90-92-85...

1/59 en base 173 = 0,2-161-46-158-58-111-73-52-134-152-82-17-102-108-85-5-149-93-143-117-49-146-105-96-131-164-35-32-43===170-11-126-14-114-61-99-120-38-20-90-155-70-64-87-167-23-79-29-55-123-26-67-76-41-8-137-140-129...

Et de manière générale en base 55+59n :

[n][51+55n][14+16n][50+54n][18+20n][35+38n][23+25n][16+18n][42+46n][48+52n][26+28n][5+6n][32+35n][34+37n][27+29n][1+2n][47+51n][29+32n][45+49n][37+40n][15+17n][46+50n][33+36n][30+33n][41+45n][52+56n][11+12n][10+11n][13+15n]===[54+58n][3+4n][40+43n][4+5n][36+39n][19+21n][31+34n][38+41n][12+13n][6+7n][28+31n][49+53n][22+24n][20+22n][27+30n][53+57n][7+8n][25+27n][9+10n][17+19n][39+42n][8+9n][21+23n][24+26n][13+14n][2+3n][43+47n][44+48n][41+44n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-55-16-54-20-38-25-18-46-52-28-6-35-37-29-2-51-32-49-40-17-50-36-33-45-56-12-11-15===58-4-43-5-39-21-34-41-13-7-31-53-24-22-30-57-8-27-10-19-42-9-23-26-14-3-47-48-44

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 55 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 44+59n.

Constatons que 44x55 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59