Pourquoi les périodes de n/59 en base 47+59n se regroupent elles en cette série ?

1-47-26-42-27-30-53-13-21-43-15-56-36-40-51-37-28-18-20-55-48-14-9-10-57-24-7-34-5===58-12-33-17-32-29-6-46-38-16-44-3-23-19-8-22-31-41-39-4-11-45-50-49-2-35-52-25-54

Calculons 1/59 en base 47+59n (47, 106, 165, ...) :

1/59 en base 47 = 0,0-37-20-33-21-23-42-10-16-34-11-44-28-31-40-29-22-14-15-43-38-11-7-7-45-19-5-27-3===46-9-26-13-25-23-4-36-30-12-35-2-18-15-6-17-24-32-31-3-8-35-39-39-1-27-41-19-43...

1/59 en base 106 = 0,1-84-46-75-48-53-95-23-37-77-26-100-64-71-91-66-50-32-35-98-86-25-16-17-102-43-12-61-8===104-21-59-30-57-52-10-82-68-28-79-5-41-34-14-39-55-73-70-7-19-80-89-88-3-62-93-44-97...

1/59 en base 165 = 0,2-131-72-117-75-83-148-36-58-120-41-156-100-111-142-103-78-50-55-153-134-39-25-27-159-67-19-95-13===162-33-92-47-89-81-16-128-106-44-123-8-64-53-22-61-86-114-109-11-30-125-139-137-5-97-145-69-151...

Et de manière générale en base 47+59n :

[n][37+47n][20+26n][33+42n][21+27n][23+30n][42+53n][10+13n][16+21n][34+43n][11+15n][44+56n][28+36n][31+40n][40+51n][29+37n][22+28n][14+18n][15+20n][43+55n][38+48n][11+14n][7+9n][7+10n][45+57n][19+24n][5+7n][27+34n][3+5n]===[46+58n][9+12n][26+33n][13+17n][25+32n][23+29n][4+6n][36+46n][30+38n][12+16n][35+44n][2+3n][18+23n][15+19n][6+8n][17+22n][24+31n][32+41n][31+39n][3+4n][8+11n][35+45n][39+50n][39+49n][1+2n][27+35n][41+52n][19+25n][43+54n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-47-26-42-27-30-53-13-21-43-15-56-36-40-51-37-28-18-20-55-48-14-9-10-57-24-7-34-5===58-12-33-17-32-29-6-46-38-16-44-3-23-19-8-22-31-41-39-4-11-45-50-49-2-35-52-25-54

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 47 modulo 59 

Calcul de 1/59 en base 54+59n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 54+59n. La série est alors :

1-54-25-52-35-2-49-50-45-11-4-39-41-31-22-8-19-23-3-44-16-38-46-6-29-32-17-33-12===58-5-34-7-24-57-10-9-14-48-55-20-18-28-37-51-40-36-56-15-43-21-13-53-30-27-42-26-47

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 47+59n.

Calculons 1/59 en base : 54, 113, 172, ...(54+59n) :

1/59 en base 54 = 0,0-49-22-47-32-1-44-45-41-10-3-35-37-28-20-7-17-21-2-40-14-34-42-5-26-29-15-30-10===53-4-31-6-21-52-9-8-12-43-50-18-16-25-33-46-36-32-51-13-39-19-11-48-27-24-38-23-43...

1/59 en base 113 = 0,1-103-47-99-67-3-93-95-86-21-7-74-78-59-42-15-36-44-5-84-30-72-88-11-55-61-32-63-22===111-9-65-13-45-109-19-17-26-91-105-38-34-53-70-97-76-68-107-28-82-40-24-101-57-51-80-49-90...

1/59 en base 172 = 0,2-157-72-151-102-5-142-145-131-32-11-113-119-90-64-23-55-67-8-128-46-110-134-17-84-93-49-96-34===169-14-99-20-69-166-29-26-40-139-160-58-52-81-107-148-116-104-163-43-125-61-37-154-87-78-122-75-137...

Et de manière générale en base 54+59n :

[n][49+54n][22+25n][47+52n][32+35n][1+2n][44+49n][45+50n][41+45n][10+11n][3+4n][35+39n][37+41n][28+31n][20+22n][7+8n][17+19n][21+23n][2+3n][40+44n][14+16n][34+38n][42+46n][5+6n][26+29n][29+32n][15+17n][30+33n][10+12n]===[53+58n][4+5n][31+34n][6+7n][21+24n][52+57n][9+10n][8+9n][12+14n][43+48n][50+55n][18+20n][16+18n][25+28n][33+37n][46+51n][36+40n][32+36n][51+56n][13+15n][39+43n][19+21n][11+13n][48+53n][27+30n][24+27n][38+42n][23+26n][43+47n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-54-25-52-35-2-49-50-45-11-4-39-41-31-22-8-19-23-3-44-16-38-46-6-29-32-17-33-12===58-5-34-7-24-57-10-9-14-48-55-20-18-28-37-51-40-36-56-15-43-21-13-53-30-27-42-26-47

Qui partage le cercle en 59 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 54 modulo 59 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 47+59n.

Constatons que 47x54 admet 1 pour reste dans la division par 59 et qu'ils sont alors inverses dans Z59