Pourquoi les périodes de n/67 en base 2+67n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-16-32-64-61-55-43-19-38-9-18-36-5-10-20-40-13-26-52-37-7-14-28-56-45-23-46-25-50-33===66-65-63-59-51-35-3-6-12-24-48-29-58-49-31-62-57-47-27-54-41-15-30-60-53-39-11-22-44-21-42-17-34

Calculons 1/67 en base 2+67n (2, 69, 136, ...) :

1/67 en base 2 = 0,000000111101001000100110001101010===111111000010110111011001110010101...

1/67 en base 69 = 0,1-2-4-8-16-32-65-62-56-44-19-39-9-18-37-5-10-20-41-13-26-53-38-7-14-28-57-46-23-47-25-51-33===67-66-64-60-52-36-3-6-12-24-49-29-59-50-31-63-58-48-27-55-42-15-30-61-54-40-11-22-45-21-43-17-35...

1/67 en base 136 = 0,2-4-8-16-32-64-129-123-111-87-38-77-18-36-73-10-20-40-81-26-52-105-75-14-28-56-113-91-46-93-50-101-66===133-131-127-119-103-71-6-12-24-48-97-58-117-99-62-125-115-95-54-109-83-30-60-121-107-79-22-44-89-42-85-34-69...

Et de manière générale en base 2+67n :

[n][2n][4n][8n][16n][32n][1+64n][1+61n][1+55n][1+43n][19n][1+38n][9n][18n][1+36n][5n][10n][20n][1+40n][13n][26n][1+52n][1+37n][7n][14n][28n][1+56n][1+45n][23n][1+46n][25n][1+50n][33n]===[1+66n][1+65n][1+63n][1+59n][1+51n][1+35n][3n][6n][12n][24n][1+48n][29n][1+58n][1+49n][31n][1+62n][1+57n][1+47n][27n][1+54n][1+41n][15n][30n][1+60n][1+53n][1+39n][11n][22n][1+44n][21n][1+42n][17n][1+34n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-2-4-8-16-32-64-61-55-43-19-38-9-18-36-5-10-20-40-13-26-52-37-7-14-28-56-45-23-46-25-50-33===66-65-63-59-51-35-3-6-12-24-48-29-58-49-31-62-57-47-27-54-41-15-30-60-53-39-11-22-44-21-42-17-34

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 34+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 34+67n. La série est alors :

1-34-17-42-21-44-22-11-39-53-60-30-15-41-54-27-47-57-62-31-49-58-29-48-24-12-6-3-35-51-59-63-65===66-33-50-25-46-23-45-56-28-14-7-37-52-26-13-40-20-10-5-36-18-9-38-19-43-55-61-64-32-16-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+67n.

Calculons 1/67 en base : 34, 101, 168, ...(34+67n) :

1/67 en base 34 = 0,0-17-8-21-10-22-11-5-19-26-30-15-7-20-27-13-23-28-31-15-24-29-14-24-12-6-3-1-17-25-29-31-32===33-16-25-12-23-11-22-28-14-7-3-18-26-13-6-20-10-5-2-18-9-4-19-9-21-27-30-32-16-8-4-2-1...

1/67 en base 101 = 0,1-51-25-63-31-66-33-16-58-79-90-45-22-61-81-40-70-85-93-46-73-87-43-72-36-18-9-4-52-76-88-94-97===99-49-75-37-69-34-67-84-42-21-10-55-78-39-19-60-30-15-7-54-27-13-57-28-64-82-91-96-48-24-12-6-3...

1/67 en base 168 = 0,2-85-42-105-52-110-55-27-97-132-150-75-37-102-135-67-117-142-155-77-122-145-72-120-60-30-15-7-87-127-147-157-162===165-82-125-62-115-57-112-140-70-35-17-92-130-65-32-100-50-25-12-90-45-22-95-47-107-137-152-160-80-40-20-10-5...

Et de manière générale en base 34+67n :

[n][17+34n][8+17n][21+42n][10+21n][22+44n][11+22n][5+11n][19+39n][26+53n][30+60n][15+30n][7+15n][20+41n][27+54n][13+27n][23+47n][28+57n][31+62n][15+31n][24+49n][29+58n][14+29n][24+48n][12+24n][6+12n][3+6n][1+3n][17+35n][25+51n][29+59n][31+63n][32+65n]===[33+66n][16+33n][25+50n][12+25n][23+46n][11+23n][22+45n][28+56n][14+28n][7+14n][3+7n][18+37n][26+52n][13+26n][6+13n][20+40n][10+20n][5+10n][2+5n][18+36n][9+18n][4+9n][19+38n][9+19n][21+43n][27+55n][30+61n][32+64n][16+32n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-34-17-42-21-44-22-11-39-53-60-30-15-41-54-27-47-57-62-31-49-58-29-48-24-12-6-3-35-51-59-63-65===66-33-50-25-46-23-45-56-28-14-7-37-52-26-13-40-20-10-5-36-18-9-38-19-43-55-61-64-32-16-8-4-2

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 34 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+67n.

Constatons que 2x34 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67