Pourquoi les périodes de n/67 en base 7+67n se regroupent elles en cette série ?

1-7-49-8-56-57-64-46-54-43-33-30-9-63-39-5-35-44-40-12-17-52-29-2-14-31-16-45-47-61-25-41-19===66-60-18-59-11-10-3-21-13-24-34-37-58-4-28-62-32-23-27-55-50-15-38-65-53-36-51-22-20-6-42-26-48

Calculons 1/67 en base 7+67n (7, 74, 141, ...) :

1/67 en base 7 = 0,005055645433064034411530131446241===661611021233602632255136535220425...

1/67 en base 74 = 0,1-7-54-8-61-62-70-50-59-47-36-33-9-69-43-5-38-48-44-13-18-57-32-2-15-34-17-49-51-67-27-45-20===72-66-19-65-12-11-3-23-14-26-37-40-64-4-30-68-35-25-29-60-55-16-41-71-58-39-56-24-22-6-46-28-53...

1/67 en base 141 = 0,2-14-103-16-117-119-134-96-113-90-69-63-18-132-82-10-73-92-84-25-35-109-61-4-29-65-33-94-98-128-52-86-39===138-126-37-124-23-21-6-44-27-50-71-77-122-8-58-130-67-48-56-115-105-31-79-136-111-75-107-46-42-12-88-54-101...

Et de manière générale en base 7+67n :

[n][7n][5+49n][8n][5+56n][5+57n][6+64n][4+46n][5+54n][4+43n][3+33n][3+30n][9n][6+63n][4+39n][5n][3+35n][4+44n][4+40n][1+12n][1+17n][5+52n][3+29n][2n][1+14n][3+31n][1+16n][4+45n][4+47n][6+61n][2+25n][4+41n][1+19n]===[6+66n][6+60n][1+18n][6+59n][1+11n][1+10n][3n][2+21n][1+13n][2+24n][3+34n][3+37n][6+58n][4n][2+28n][6+62n][3+32n][2+23n][2+27n][5+55n][5+50n][1+15n][3+38n][6+65n][5+53n][3+36n][5+51n][2+22n][2+20n][6n][4+42n][2+26n][5+48n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-7-49-8-56-57-64-46-54-43-33-30-9-63-39-5-35-44-40-12-17-52-29-2-14-31-16-45-47-61-25-41-19===66-60-18-59-11-10-3-21-13-24-34-37-58-4-28-62-32-23-27-55-50-15-38-65-53-36-51-22-20-6-42-26-48

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 48+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 48+67n. La série est alors :

1-48-26-42-6-20-22-51-36-53-65-38-15-50-55-27-23-32-62-28-4-58-37-34-24-13-21-3-10-11-59-18-60===66-19-41-25-61-47-45-16-31-14-2-29-52-17-12-40-44-35-5-39-63-9-30-33-43-54-46-64-57-56-8-49-7

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+67n.

Calculons 1/67 en base : 48, 115, 182, ...(48+67n) :

1/67 en base 48 = 0,0-34-18-30-4-14-15-36-25-37-46-27-10-35-39-19-16-22-44-20-2-41-26-24-17-9-15-2-7-7-42-12-42===47-13-29-17-43-33-32-11-22-10-1-20-37-12-8-28-31-25-3-27-45-6-21-23-30-38-32-45-40-40-5-35-5...

1/67 en base 115 = 0,1-82-44-72-10-34-37-87-61-90-111-65-25-85-94-46-39-54-106-48-6-99-63-58-41-22-36-5-17-18-101-30-102===113-32-70-42-104-80-77-27-53-24-3-49-89-29-20-68-75-60-8-66-108-15-51-56-73-92-78-109-97-96-13-84-12...

1/67 en base 182 = 0,2-130-70-114-16-54-59-138-97-143-176-103-40-135-149-73-62-86-168-76-10-157-100-92-65-35-57-8-27-29-160-48-162===179-51-111-67-165-127-122-43-84-38-5-78-141-46-32-108-119-95-13-105-171-24-81-89-116-146-124-173-154-152-21-133-19...

Et de manière générale en base 48+67n :

[n][34+48n][18+26n][30+42n][4+6n][14+20n][15+22n][36+51n][25+36n][37+53n][46+65n][27+38n][10+15n][35+50n][39+55n][19+27n][16+23n][22+32n][44+62n][20+28n][2+4n][41+58n][26+37n][24+34n][17+24n][9+13n][15+21n][2+3n][7+10n][7+11n][42+59n][12+18n][42+60n]===[47+66n][13+19n][29+41n][17+25n][43+61n][33+47n][32+45n][11+16n][22+31n][10+14n][1+2n][20+29n][37+52n][12+17n][8+12n][28+40n][31+44n][25+35n][3+5n][27+39n][45+63n][6+9n][21+30n][23+33n][30+43n][38+54n][32+46n][45+64n][40+57n][40+56n][5+8n][35+49n][5+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-48-26-42-6-20-22-51-36-53-65-38-15-50-55-27-23-32-62-28-4-58-37-34-24-13-21-3-10-11-59-18-60===66-19-41-25-61-47-45-16-31-14-2-29-52-17-12-40-44-35-5-39-63-9-30-33-43-54-46-64-57-56-8-49-7

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 48 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+67n.

Constatons que 7x48 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67