Pourquoi les périodes de n/67 en base 11+67n se regroupent elles en cette série ?

1-11-54-58-35-50-14-20-19-8-21-30-62-12-65-45-26-18-64-34-39-27-29-51-25-7-10-43-4-44-15-31-6===66-56-13-9-32-17-53-47-48-59-46-37-5-55-2-22-41-49-3-33-28-40-38-16-42-60-57-24-63-23-52-36-61

Calculons 1/67 en base 11+67n (11, 78, 145, ...) :

1/67 en base 11 = 0,0-1-8-9-5-8-2-3-3-1-3-4-10-1-10-7-4-2-10-5-6-4-4-8-4-1-1-7-0-7-2-5-0===10-9-2-1-5-2-8-7-7-9-7-6-0-9-0-3-6-8-0-5-4-6-6-2-6-9-9-3-10-3-8-5-10...

1/67 en base 78 = 0,1-12-62-67-40-58-16-23-22-9-24-34-72-13-75-52-30-20-74-39-45-31-33-59-29-8-11-50-4-51-17-36-6===76-65-15-10-37-19-61-54-55-68-53-43-5-64-2-25-47-57-3-38-32-46-44-18-48-69-66-27-73-26-60-41-71...

1/67 en base 145 = 0,2-23-116-125-75-108-30-43-41-17-45-64-134-25-140-97-56-38-138-73-84-58-62-110-54-15-21-93-8-95-32-67-12===142-121-28-19-69-36-114-101-103-127-99-80-10-119-4-47-88-106-6-71-60-86-82-34-90-129-123-51-136-49-112-77-132...

Et de manière générale en base 11+67n :

[n][1+11n][8+54n][9+58n][5+35n][8+50n][2+14n][3+20n][3+19n][1+8n][3+21n][4+30n][10+62n][1+12n][10+65n][7+45n][4+26n][2+18n][10+64n][5+34n][6+39n][4+27n][4+29n][8+51n][4+25n][1+7n][1+10n][7+43n][4n][7+44n][2+15n][5+31n][6n]===[10+66n][9+56n][2+13n][1+9n][5+32n][2+17n][8+53n][7+47n][7+48n][9+59n][7+46n][6+37n][5n][9+55n][2n][3+22n][6+41n][8+49n][3n][5+33n][4+28n][6+40n][6+38n][2+16n][6+42n][9+60n][9+57n][3+24n][10+63n][3+23n][8+52n][5+36n][10+61n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-54-58-35-50-14-20-19-8-21-30-62-12-65-45-26-18-64-34-39-27-29-51-25-7-10-43-4-44-15-31-6===66-56-13-9-32-17-53-47-48-59-46-37-5-55-2-22-41-49-3-33-28-40-38-16-42-60-57-24-63-23-52-36-61

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 61+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 61+67n. La série est alors :

1-61-36-52-23-63-24-57-60-42-16-38-40-28-33-3-49-41-22-2-55-5-37-46-59-48-47-53-17-32-9-13-56===66-6-31-15-44-4-43-10-7-25-51-29-27-39-34-64-18-26-45-65-12-62-30-21-8-19-20-14-50-35-58-54-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+67n.

Calculons 1/67 en base : 61, 128, 195, ...(61+67n) :

1/67 en base 61 = 0,0-55-32-47-20-57-21-51-54-38-14-34-36-25-30-2-44-37-20-1-50-4-33-41-53-43-42-48-15-29-8-11-50===60-5-28-13-40-3-39-9-6-22-46-26-24-35-30-58-16-23-40-59-10-56-27-19-7-17-18-12-45-31-52-49-10...

1/67 en base 128 = 0,1-116-68-99-43-120-45-108-114-80-30-72-76-53-63-5-93-78-42-3-105-9-70-87-112-91-89-101-32-61-17-24-106===126-11-59-28-84-7-82-19-13-47-97-55-51-74-64-122-34-49-85-124-22-118-57-40-15-36-38-26-95-66-110-103-21...

1/67 en base 195 = 0,2-177-104-151-66-183-69-165-174-122-46-110-116-81-96-8-142-119-64-5-160-14-107-133-171-139-136-154-49-93-26-37-162===192-17-90-43-128-11-125-29-20-72-148-84-78-113-98-186-52-75-130-189-34-180-87-61-23-55-58-40-145-101-168-157-32...

Et de manière générale en base 61+67n :

[n][55+61n][32+36n][47+52n][20+23n][57+63n][21+24n][51+57n][54+60n][38+42n][14+16n][34+38n][36+40n][25+28n][30+33n][2+3n][44+49n][37+41n][20+22n][1+2n][50+55n][4+5n][33+37n][41+46n][53+59n][43+48n][42+47n][48+53n][15+17n][29+32n][8+9n][11+13n][50+56n]===[60+66n][5+6n][28+31n][13+15n][40+44n][3+4n][39+43n][9+10n][6+7n][22+25n][46+51n][26+29n][24+27n][35+39n][30+34n][58+64n][16+18n][23+26n][40+45n][59+65n][10+12n][56+62n][27+30n][19+21n][7+8n][17+19n][18+20n][12+14n][45+50n][31+35n][52+58n][49+54n][10+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-61-36-52-23-63-24-57-60-42-16-38-40-28-33-3-49-41-22-2-55-5-37-46-59-48-47-53-17-32-9-13-56===66-6-31-15-44-4-43-10-7-25-51-29-27-39-34-64-18-26-45-65-12-62-30-21-8-19-20-14-50-35-58-54-11

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 61 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+67n.

Constatons que 11x61 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67