Pourquoi les périodes de n/67 en base 12+67n se regroupent elles en cette série ?

1-12-10-53-33-61-62-7-17-3-36-30-25-32-49-52-21-51-9-41-23-8-29-13-22-63-19-27-56-2-24-20-39===66-55-57-14-34-6-5-60-50-64-31-37-42-35-18-15-46-16-58-26-44-59-38-54-45-4-48-40-11-65-43-47-28

Calculons 1/67 en base 12+67n (12, 79, 146, ...) :

1/67 en base 12 = 0,0-2-1-9-5-10-11-1-3-0-6-5-4-5-8-9-3-9-1-7-4-1-5-2-3-11-3-4-10-0-4-3-6===11-9-10-2-6-1-0-10-8-11-5-6-7-6-3-2-8-2-10-4-7-10-6-9-8-0-8-7-1-11-7-8-5...

1/67 en base 79 = 0,1-14-11-62-38-71-73-8-20-3-42-35-29-37-57-61-24-60-10-48-27-9-34-15-25-74-22-31-66-2-28-23-45===77-64-67-16-40-7-5-70-58-75-36-43-49-41-21-17-54-18-68-30-51-69-44-63-53-4-56-47-12-76-50-55-33...

1/67 en base 146 = 0,2-26-21-115-71-132-135-15-37-6-78-65-54-69-106-113-45-111-19-89-50-17-63-28-47-137-41-58-122-4-52-43-84===143-119-124-30-74-13-10-130-108-139-67-80-91-76-39-32-100-34-126-56-95-128-82-117-98-8-104-87-23-141-93-102-61...

Et de manière générale en base 12+67n :

[n][2+12n][1+10n][9+53n][5+33n][10+61n][11+62n][1+7n][3+17n][3n][6+36n][5+30n][4+25n][5+32n][8+49n][9+52n][3+21n][9+51n][1+9n][7+41n][4+23n][1+8n][5+29n][2+13n][3+22n][11+63n][3+19n][4+27n][10+56n][2n][4+24n][3+20n][6+39n]===[11+66n][9+55n][10+57n][2+14n][6+34n][1+6n][5n][10+60n][8+50n][11+64n][5+31n][6+37n][7+42n][6+35n][3+18n][2+15n][8+46n][2+16n][10+58n][4+26n][7+44n][10+59n][6+38n][9+54n][8+45n][4n][8+48n][7+40n][1+11n][11+65n][7+43n][8+47n][5+28n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-12-10-53-33-61-62-7-17-3-36-30-25-32-49-52-21-51-9-41-23-8-29-13-22-63-19-27-56-2-24-20-39===66-55-57-14-34-6-5-60-50-64-31-37-42-35-18-15-46-16-58-26-44-59-38-54-45-4-48-40-11-65-43-47-28

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 12 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 28+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 28+67n. La série est alors :

1-28-47-43-65-11-40-48-4-45-54-38-59-44-26-58-16-46-15-18-35-42-37-31-64-50-60-5-6-34-14-57-55===66-39-20-24-2-56-27-19-63-22-13-29-8-23-41-9-51-21-52-49-32-25-30-36-3-17-7-62-61-33-53-10-12

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 12+67n.

Calculons 1/67 en base : 28, 95, 162, ...(28+67n) :

1/67 en base 28 = 0,0-11-19-17-27-4-16-20-1-18-22-15-24-18-10-24-6-19-6-7-14-17-15-12-26-20-25-2-2-14-5-23-22===27-16-8-10-0-23-11-7-26-9-5-12-3-9-17-3-21-8-21-20-13-10-12-15-1-7-2-25-25-13-22-4-5...

1/67 en base 95 = 0,1-39-66-60-92-15-56-68-5-63-76-53-83-62-36-82-22-65-21-25-49-59-52-43-90-70-85-7-8-48-19-80-77===93-55-28-34-2-79-38-26-89-31-18-41-11-32-58-12-72-29-73-69-45-35-42-51-4-24-9-87-86-46-75-14-17...

1/67 en base 162 = 0,2-67-113-103-157-26-96-116-9-108-130-91-142-106-62-140-38-111-36-43-84-101-89-74-154-120-145-12-14-82-33-137-132===159-94-48-58-4-135-65-45-152-53-31-70-19-55-99-21-123-50-125-118-77-60-72-87-7-41-16-149-147-79-128-24-29...

Et de manière générale en base 28+67n :

[n][11+28n][19+47n][17+43n][27+65n][4+11n][16+40n][20+48n][1+4n][18+45n][22+54n][15+38n][24+59n][18+44n][10+26n][24+58n][6+16n][19+46n][6+15n][7+18n][14+35n][17+42n][15+37n][12+31n][26+64n][20+50n][25+60n][2+5n][2+6n][14+34n][5+14n][23+57n][22+55n]===[27+66n][16+39n][8+20n][10+24n][2n][23+56n][11+27n][7+19n][26+63n][9+22n][5+13n][12+29n][3+8n][9+23n][17+41n][3+9n][21+51n][8+21n][21+52n][20+49n][13+32n][10+25n][12+30n][15+36n][1+3n][7+17n][2+7n][25+62n][25+61n][13+33n][22+53n][4+10n][5+12n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-28-47-43-65-11-40-48-4-45-54-38-59-44-26-58-16-46-15-18-35-42-37-31-64-50-60-5-6-34-14-57-55===66-39-20-24-2-56-27-19-63-22-13-29-8-23-41-9-51-21-52-49-32-25-30-36-3-17-7-62-61-33-53-10-12

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 28 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 12+67n.

Constatons que 12x28 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67