Pourquoi les périodes de n/67 en base 13+67n se regroupent elles en cette série ?

1-13-35-53-19-46-62-2-26-3-39-38-25-57-4-52-6-11-9-50-47-8-37-12-22-18-33-27-16-7-24-44-36===66-54-32-14-48-21-5-65-41-64-28-29-42-10-63-15-61-56-58-17-20-59-30-55-45-49-34-40-51-60-43-23-31

Calculons 1/67 en base 13+67n (13, 80, 147, ...) :

1/67 en base 13 = 0,0-2-6-10-3-8-12-0-5-0-7-7-4-11-0-10-1-2-1-9-9-1-7-2-4-3-6-5-3-1-4-8-6===12-10-6-2-9-4-0-12-7-12-5-5-8-1-12-2-11-10-11-3-3-11-5-10-8-9-6-7-9-11-8-4-6...

1/67 en base 80 = 0,1-15-41-63-22-54-74-2-31-3-46-45-29-68-4-62-7-13-10-59-56-9-44-14-26-21-39-32-19-8-28-52-42===78-64-38-16-57-25-5-77-48-76-33-34-50-11-75-17-72-66-69-20-23-70-35-65-53-58-40-47-60-71-51-27-37...

1/67 en base 147 = 0,2-28-76-116-41-100-136-4-57-6-85-83-54-125-8-114-13-24-19-109-103-17-81-26-48-39-72-59-35-15-52-96-78===144-118-70-30-105-46-10-142-89-140-61-63-92-21-138-32-133-122-127-37-43-129-65-120-98-107-74-87-111-131-94-50-68...

Et de manière générale en base 13+67n :

[n][2+13n][6+35n][10+53n][3+19n][8+46n][12+62n][2n][5+26n][3n][7+39n][7+38n][4+25n][11+57n][4n][10+52n][1+6n][2+11n][1+9n][9+50n][9+47n][1+8n][7+37n][2+12n][4+22n][3+18n][6+33n][5+27n][3+16n][1+7n][4+24n][8+44n][6+36n]===[12+66n][10+54n][6+32n][2+14n][9+48n][4+21n][5n][12+65n][7+41n][12+64n][5+28n][5+29n][8+42n][1+10n][12+63n][2+15n][11+61n][10+56n][11+58n][3+17n][3+20n][11+59n][5+30n][10+55n][8+45n][9+49n][6+34n][7+40n][9+51n][11+60n][8+43n][4+23n][6+31n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-13-35-53-19-46-62-2-26-3-39-38-25-57-4-52-6-11-9-50-47-8-37-12-22-18-33-27-16-7-24-44-36===66-54-32-14-48-21-5-65-41-64-28-29-42-10-63-15-61-56-58-17-20-59-30-55-45-49-34-40-51-60-43-23-31

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 31+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 31+67n. La série est alors :

1-31-23-43-60-51-40-34-49-45-55-30-59-20-17-58-56-61-15-63-10-42-29-28-64-41-65-5-21-48-14-32-54===66-36-44-24-7-16-27-33-18-22-12-37-8-47-50-9-11-6-52-4-57-25-38-39-3-26-2-62-46-19-53-35-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+67n.

Calculons 1/67 en base : 31, 98, 165, ...(31+67n) :

1/67 en base 31 = 0,0-14-10-19-27-23-18-15-22-20-25-13-27-9-7-26-25-28-6-29-4-19-13-12-29-18-30-2-9-22-6-14-24===30-16-20-11-3-7-12-15-8-10-5-17-3-21-23-4-5-2-24-1-26-11-17-18-1-12-0-28-21-8-24-16-6...

1/67 en base 98 = 0,1-45-33-62-87-74-58-49-71-65-80-43-86-29-24-84-81-89-21-92-14-61-42-40-93-59-95-7-30-70-20-46-78===96-52-64-35-10-23-39-48-26-32-17-54-11-68-73-13-16-8-76-5-83-36-55-57-4-38-2-90-67-27-77-51-19...

1/67 en base 165 = 0,2-76-56-105-147-125-98-83-120-110-135-73-145-49-41-142-137-150-36-155-24-103-71-68-157-100-160-12-51-118-34-78-132===162-88-108-59-17-39-66-81-44-54-29-91-19-115-123-22-27-14-128-9-140-61-93-96-7-64-4-152-113-46-130-86-32...

Et de manière générale en base 31+67n :

[n][14+31n][10+23n][19+43n][27+60n][23+51n][18+40n][15+34n][22+49n][20+45n][25+55n][13+30n][27+59n][9+20n][7+17n][26+58n][25+56n][28+61n][6+15n][29+63n][4+10n][19+42n][13+29n][12+28n][29+64n][18+41n][30+65n][2+5n][9+21n][22+48n][6+14n][14+32n][24+54n]===[30+66n][16+36n][20+44n][11+24n][3+7n][7+16n][12+27n][15+33n][8+18n][10+22n][5+12n][17+37n][3+8n][21+47n][23+50n][4+9n][5+11n][2+6n][24+52n][1+4n][26+57n][11+25n][17+38n][18+39n][1+3n][12+26n][2n][28+62n][21+46n][8+19n][24+53n][16+35n][6+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-31-23-43-60-51-40-34-49-45-55-30-59-20-17-58-56-61-15-63-10-42-29-28-64-41-65-5-21-48-14-32-54===66-36-44-24-7-16-27-33-18-22-12-37-8-47-50-9-11-6-52-4-57-25-38-39-3-26-2-62-46-19-53-35-13

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 31 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+67n.

Constatons que 13x31 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67