Pourquoi les périodes de n/67 en base 18+67n se regroupent elles en cette série ?

1-18-56-3-54-34-9-28-35-27-17-38-14-51-47-42-19-7-59-57-21-43-37-63-62-44-55-52-65-31-22-61-26===66-49-11-64-13-33-58-39-32-40-50-29-53-16-20-25-48-60-8-10-46-24-30-4-5-23-12-15-2-36-45-6-41

Calculons 1/67 en base 18+67n (18, 85, 152, ...) :

1/67 en base 18 = 0,0-4-15-0-14-9-2-7-9-7-4-10-3-13-12-11-5-1-15-15-5-11-9-16-16-11-14-13-17-8-5-16-6===17-13-2-17-3-8-15-10-8-10-13-7-14-4-5-6-12-16-2-2-12-6-8-1-1-6-3-4-0-9-12-1-11...

1/67 en base 85 = 0,1-22-71-3-68-43-11-35-44-34-21-48-17-64-59-53-24-8-74-72-26-54-46-79-78-55-69-65-82-39-27-77-32===83-62-13-81-16-41-73-49-40-50-63-36-67-20-25-31-60-76-10-12-58-30-38-5-6-29-15-19-2-45-57-7-52...

1/67 en base 152 = 0,2-40-127-6-122-77-20-63-79-61-38-86-31-115-106-95-43-15-133-129-47-97-83-142-140-99-124-117-147-70-49-138-58===149-111-24-145-29-74-131-88-72-90-113-65-120-36-45-56-108-136-18-22-104-54-68-9-11-52-27-34-4-81-102-13-93...

Et de manière générale en base 18+67n :

[n][4+18n][15+56n][3n][14+54n][9+34n][2+9n][7+28n][9+35n][7+27n][4+17n][10+38n][3+14n][13+51n][12+47n][11+42n][5+19n][1+7n][15+59n][15+57n][5+21n][11+43n][9+37n][16+63n][16+62n][11+44n][14+55n][13+52n][17+65n][8+31n][5+22n][16+61n][6+26n]===[17+66n][13+49n][2+11n][17+64n][3+13n][8+33n][15+58n][10+39n][8+32n][10+40n][13+50n][7+29n][14+53n][4+16n][5+20n][6+25n][12+48n][16+60n][2+8n][2+10n][12+46n][6+24n][8+30n][1+4n][1+5n][6+23n][3+12n][4+15n][2n][9+36n][12+45n][1+6n][11+41n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-18-56-3-54-34-9-28-35-27-17-38-14-51-47-42-19-7-59-57-21-43-37-63-62-44-55-52-65-31-22-61-26===66-49-11-64-13-33-58-39-32-40-50-29-53-16-20-25-48-60-8-10-46-24-30-4-5-23-12-15-2-36-45-6-41

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 41+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 41+67n. La série est alors :

1-41-6-45-36-2-15-12-23-5-4-30-24-46-10-8-60-48-25-20-16-53-29-50-40-32-39-58-33-13-64-11-49===66-26-61-22-31-65-52-55-44-62-63-37-43-21-57-59-7-19-42-47-51-14-38-17-27-35-28-9-34-54-3-56-18

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 18+67n.

Calculons 1/67 en base : 41, 108, 175, ...(41+67n) :

1/67 en base 41 = 0,0-25-3-27-22-1-9-7-14-3-2-18-14-28-6-4-36-29-15-12-9-32-17-30-24-19-23-35-20-7-39-6-29===40-15-37-13-18-39-31-33-26-37-38-22-26-12-34-36-4-11-25-28-31-8-23-10-16-21-17-5-20-33-1-34-11...

1/67 en base 108 = 0,1-66-9-72-58-3-24-19-37-8-6-48-38-74-16-12-96-77-40-32-25-85-46-80-64-51-62-93-53-20-103-17-78===106-41-98-35-49-104-83-88-70-99-101-59-69-33-91-95-11-30-67-75-82-22-61-27-43-56-45-14-54-87-4-90-29...

1/67 en base 175 = 0,2-107-15-117-94-5-39-31-60-13-10-78-62-120-26-20-156-125-65-52-41-138-75-130-104-83-101-151-86-33-167-28-127===172-67-159-57-80-169-135-143-114-161-164-96-112-54-148-154-18-49-109-122-133-36-99-44-70-91-73-23-88-141-7-146-47...

Et de manière générale en base 41+67n :

[n][25+41n][3+6n][27+45n][22+36n][1+2n][9+15n][7+12n][14+23n][3+5n][2+4n][18+30n][14+24n][28+46n][6+10n][4+8n][36+60n][29+48n][15+25n][12+20n][9+16n][32+53n][17+29n][30+50n][24+40n][19+32n][23+39n][35+58n][20+33n][7+13n][39+64n][6+11n][29+49n]===[40+66n][15+26n][37+61n][13+22n][18+31n][39+65n][31+52n][33+55n][26+44n][37+62n][38+63n][22+37n][26+43n][12+21n][34+57n][36+59n][4+7n][11+19n][25+42n][28+47n][31+51n][8+14n][23+38n][10+17n][16+27n][21+35n][17+28n][5+9n][20+34n][33+54n][1+3n][34+56n][11+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-41-6-45-36-2-15-12-23-5-4-30-24-46-10-8-60-48-25-20-16-53-29-50-40-32-39-58-33-13-64-11-49===66-26-61-22-31-65-52-55-44-62-63-37-43-21-57-59-7-19-42-47-51-14-38-17-27-35-28-9-34-54-3-56-18

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 41 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 18+67n.

Constatons que 18x41 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67