Pourquoi les périodes de n/67 en base 20+67n se regroupent elles en cette série ?

1-20-65-27-4-13-59-41-16-52-35-30-64-7-6-53-55-28-24-11-19-45-29-44-9-46-49-42-36-50-62-34-10===66-47-2-40-63-54-8-26-51-15-32-37-3-60-61-14-12-39-43-56-48-22-38-23-58-21-18-25-31-17-5-33-57

Calculons 1/67 en base 20+67n (20, 87, 154, ...) :

1/67 en base 20 = 0,0-5-19-8-1-3-17-12-4-15-10-8-19-2-1-15-16-8-7-3-5-13-8-13-2-13-14-12-10-14-18-10-2===19-14-0-11-18-16-2-7-15-4-9-11-0-17-18-4-3-11-12-16-14-6-11-6-17-6-5-7-9-5-1-9-17...

1/67 en base 87 = 0,1-25-84-35-5-16-76-53-20-67-45-38-83-9-7-68-71-36-31-14-24-58-37-57-11-59-63-54-46-64-80-44-12===85-61-2-51-81-70-10-33-66-19-41-48-3-77-79-18-15-50-55-72-62-28-49-29-75-27-23-32-40-22-6-42-74...

1/67 en base 154 = 0,2-45-149-62-9-29-135-94-36-119-80-68-147-16-13-121-126-64-55-25-43-103-66-101-20-105-112-96-82-114-142-78-22===151-108-4-91-144-124-18-59-117-34-73-85-6-137-140-32-27-89-98-128-110-50-87-52-133-48-41-57-71-39-11-75-131...

Et de manière générale en base 20+67n :

[n][5+20n][19+65n][8+27n][1+4n][3+13n][17+59n][12+41n][4+16n][15+52n][10+35n][8+30n][19+64n][2+7n][1+6n][15+53n][16+55n][8+28n][7+24n][3+11n][5+19n][13+45n][8+29n][13+44n][2+9n][13+46n][14+49n][12+42n][10+36n][14+50n][18+62n][10+34n][2+10n]===[19+66n][14+47n][2n][11+40n][18+63n][16+54n][2+8n][7+26n][15+51n][4+15n][9+32n][11+37n][3n][17+60n][18+61n][4+14n][3+12n][11+39n][12+43n][16+56n][14+48n][6+22n][11+38n][6+23n][17+58n][6+21n][5+18n][7+25n][9+31n][5+17n][1+5n][9+33n][17+57n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-20-65-27-4-13-59-41-16-52-35-30-64-7-6-53-55-28-24-11-19-45-29-44-9-46-49-42-36-50-62-34-10===66-47-2-40-63-54-8-26-51-15-32-37-3-60-61-14-12-39-43-56-48-22-38-23-58-21-18-25-31-17-5-33-57

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 20 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 57+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 57+67n. La série est alors :

1-57-33-5-17-31-25-18-21-58-23-38-22-48-56-43-39-12-14-61-60-3-37-32-15-51-26-8-54-63-40-2-47===66-10-34-62-50-36-42-49-46-9-44-29-45-19-11-24-28-55-53-6-7-64-30-35-52-16-41-59-13-4-27-65-20

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 20+67n.

Calculons 1/67 en base : 57, 124, 191, ...(57+67n) :

1/67 en base 57 = 0,0-48-28-4-14-26-21-15-17-49-19-32-18-40-47-36-33-10-11-51-51-2-31-27-12-43-22-6-45-53-34-1-39===56-8-28-52-42-30-35-41-39-7-37-24-38-16-9-20-23-46-45-5-5-54-25-29-44-13-34-50-11-3-22-55-17...

1/67 en base 124 = 0,1-105-61-9-31-57-46-33-38-107-42-70-40-88-103-79-72-22-25-112-111-5-68-59-27-94-48-14-99-116-74-3-86===122-18-62-114-92-66-77-90-85-16-81-53-83-35-20-44-51-101-98-11-12-118-55-64-96-29-75-109-24-7-49-120-37...

1/67 en base 191 = 0,2-162-94-14-48-88-71-51-59-165-65-108-62-136-159-122-111-34-39-173-171-8-105-91-42-145-74-22-153-179-114-5-133===188-28-96-176-142-102-119-139-131-25-125-82-128-54-31-68-79-156-151-17-19-182-85-99-148-45-116-168-37-11-76-185-57...

Et de manière générale en base 57+67n :

[n][48+57n][28+33n][4+5n][14+17n][26+31n][21+25n][15+18n][17+21n][49+58n][19+23n][32+38n][18+22n][40+48n][47+56n][36+43n][33+39n][10+12n][11+14n][51+61n][51+60n][2+3n][31+37n][27+32n][12+15n][43+51n][22+26n][6+8n][45+54n][53+63n][34+40n][1+2n][39+47n]===[56+66n][8+10n][28+34n][52+62n][42+50n][30+36n][35+42n][41+49n][39+46n][7+9n][37+44n][24+29n][38+45n][16+19n][9+11n][20+24n][23+28n][46+55n][45+53n][5+6n][5+7n][54+64n][25+30n][29+35n][44+52n][13+16n][34+41n][50+59n][11+13n][3+4n][22+27n][55+65n][17+20n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-57-33-5-17-31-25-18-21-58-23-38-22-48-56-43-39-12-14-61-60-3-37-32-15-51-26-8-54-63-40-2-47===66-10-34-62-50-36-42-49-46-9-44-29-45-19-11-24-28-55-53-6-7-64-30-35-52-16-41-59-13-4-27-65-20

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 57 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 20+67n.

Constatons que 20x57 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67