Pourquoi les périodes de n/67 en base 32+67n se regroupent elles en cette série ?

1-32-19-5-26-28-25-63-6-58-47-30-22-34-16-43-36-13-14-46-65-3-29-57-15-11-17-8-55-18-40-7-23===66-35-48-62-41-39-42-4-61-9-20-37-45-33-51-24-31-54-53-21-2-64-38-10-52-56-50-59-12-49-27-60-44

Calculons 1/67 en base 32+67n (32, 99, 166, ...) :

1/67 en base 32 = 0,0-15-9-2-12-13-11-30-2-27-22-14-10-16-7-20-17-6-6-21-31-1-13-27-7-5-8-3-26-8-19-3-10===31-16-22-29-19-18-20-1-29-4-9-17-21-15-24-11-14-25-25-10-0-30-18-4-24-26-23-28-5-23-12-28-21...

1/67 en base 99 = 0,1-47-28-7-38-41-36-93-8-85-69-44-32-50-23-63-53-19-20-67-96-4-42-84-22-16-25-11-81-26-59-10-33===97-51-70-91-60-57-62-5-90-13-29-54-66-48-75-35-45-79-78-31-2-94-56-14-76-82-73-87-17-72-39-88-65...

1/67 en base 166 = 0,2-79-47-12-64-69-61-156-14-143-116-74-54-84-39-106-89-32-34-113-161-7-71-141-37-27-42-19-136-44-99-17-56===163-86-118-153-101-96-104-9-151-22-49-91-111-81-126-59-76-133-131-52-4-158-94-24-128-138-123-146-29-121-66-148-109...

Et de manière générale en base 32+67n :

[n][15+32n][9+19n][2+5n][12+26n][13+28n][11+25n][30+63n][2+6n][27+58n][22+47n][14+30n][10+22n][16+34n][7+16n][20+43n][17+36n][6+13n][6+14n][21+46n][31+65n][1+3n][13+29n][27+57n][7+15n][5+11n][8+17n][3+8n][26+55n][8+18n][19+40n][3+7n][10+23n]===[31+66n][16+35n][22+48n][29+62n][19+41n][18+39n][20+42n][1+4n][29+61n][4+9n][9+20n][17+37n][21+45n][15+33n][24+51n][11+24n][14+31n][25+54n][25+53n][10+21n][2n][30+64n][18+38n][4+10n][24+52n][26+56n][23+50n][28+59n][5+12n][23+49n][12+27n][28+60n][21+44n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-32-19-5-26-28-25-63-6-58-47-30-22-34-16-43-36-13-14-46-65-3-29-57-15-11-17-8-55-18-40-7-23===66-35-48-62-41-39-42-4-61-9-20-37-45-33-51-24-31-54-53-21-2-64-38-10-52-56-50-59-12-49-27-60-44

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 32 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 44+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 44+67n. La série est alors :

1-44-60-27-49-12-59-50-56-52-10-38-64-2-21-53-54-31-24-51-33-45-37-20-9-61-4-42-39-41-62-48-35===66-23-7-40-18-55-8-17-11-15-57-29-3-65-46-14-13-36-43-16-34-22-30-47-58-6-63-25-28-26-5-19-32

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 32+67n.

Calculons 1/67 en base : 44, 111, 178, ...(44+67n) :

1/67 en base 44 = 0,0-28-39-17-32-7-38-32-36-34-6-24-42-1-13-34-35-20-15-33-21-29-24-13-5-40-2-27-25-26-40-31-22===43-15-4-26-11-36-5-11-7-9-37-19-1-42-30-9-8-23-28-10-22-14-19-30-38-3-41-16-18-17-3-12-21...

1/67 en base 111 = 0,1-72-99-44-81-19-97-82-92-86-16-62-106-3-34-87-89-51-39-84-54-74-61-33-14-101-6-69-64-67-102-79-57===109-38-11-66-29-91-13-28-18-24-94-48-4-107-76-23-21-59-71-26-56-36-49-77-96-9-104-41-46-43-8-31-53...

1/67 en base 178 = 0,2-116-159-71-130-31-156-132-148-138-26-100-170-5-55-140-143-82-63-135-87-119-98-53-23-162-10-111-103-108-164-127-92===175-61-18-106-47-146-21-45-29-39-151-77-7-172-122-37-34-95-114-42-90-58-79-124-154-15-167-66-74-69-13-50-85...

Et de manière générale en base 44+67n :

[n][28+44n][39+60n][17+27n][32+49n][7+12n][38+59n][32+50n][36+56n][34+52n][6+10n][24+38n][42+64n][1+2n][13+21n][34+53n][35+54n][20+31n][15+24n][33+51n][21+33n][29+45n][24+37n][13+20n][5+9n][40+61n][2+4n][27+42n][25+39n][26+41n][40+62n][31+48n][22+35n]===[43+66n][15+23n][4+7n][26+40n][11+18n][36+55n][5+8n][11+17n][7+11n][9+15n][37+57n][19+29n][1+3n][42+65n][30+46n][9+14n][8+13n][23+36n][28+43n][10+16n][22+34n][14+22n][19+30n][30+47n][38+58n][3+6n][41+63n][16+25n][18+28n][17+26n][3+5n][12+19n][21+32n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-44-60-27-49-12-59-50-56-52-10-38-64-2-21-53-54-31-24-51-33-45-37-20-9-61-4-42-39-41-62-48-35===66-23-7-40-18-55-8-17-11-15-57-29-3-65-46-14-13-36-43-16-34-22-30-47-58-6-63-25-28-26-5-19-32

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 44 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 32+67n.

Constatons que 32x44 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67