Pourquoi les périodes de n/67 en base 46+67n se regroupent elles en cette série ?

1-46-39-52-47-18-24-32-65-42-56-30-40-31-19-3-4-50-22-7-54-5-29-61-59-34-23-53-26-57-9-12-16===66-21-28-15-20-49-43-35-2-25-11-37-27-36-48-64-63-17-45-60-13-62-38-6-8-33-44-14-41-10-58-55-51

Calculons 1/67 en base 46+67n (46, 113, 180, ...) :

1/67 en base 46 = 0,0-31-26-35-32-12-16-21-44-28-38-20-27-21-13-2-2-34-15-4-37-3-19-41-40-23-15-36-17-39-6-8-10===45-14-19-10-13-33-29-24-1-17-7-25-18-24-32-43-43-11-30-41-8-42-26-4-5-22-30-9-28-6-39-37-35...

1/67 en base 113 = 0,1-77-65-87-79-30-40-53-109-70-94-50-67-52-32-5-6-84-37-11-91-8-48-102-99-57-38-89-43-96-15-20-26===111-35-47-25-33-82-72-59-3-42-18-62-45-60-80-107-106-28-75-101-21-104-64-10-13-55-74-23-69-16-97-92-86...

1/67 en base 180 = 0,2-123-104-139-126-48-64-85-174-112-150-80-107-83-51-8-10-134-59-18-145-13-77-163-158-91-61-142-69-153-24-32-42===177-56-75-40-53-131-115-94-5-67-29-99-72-96-128-171-169-45-120-161-34-166-102-16-21-88-118-37-110-26-155-147-137...

Et de manière générale en base 46+67n :

[n][31+46n][26+39n][35+52n][32+47n][12+18n][16+24n][21+32n][44+65n][28+42n][38+56n][20+30n][27+40n][21+31n][13+19n][2+3n][2+4n][34+50n][15+22n][4+7n][37+54n][3+5n][19+29n][41+61n][40+59n][23+34n][15+23n][36+53n][17+26n][39+57n][6+9n][8+12n][10+16n]===[45+66n][14+21n][19+28n][10+15n][13+20n][33+49n][29+43n][24+35n][1+2n][17+25n][7+11n][25+37n][18+27n][24+36n][32+48n][43+64n][43+63n][11+17n][30+45n][41+60n][8+13n][42+62n][26+38n][4+6n][5+8n][22+33n][30+44n][9+14n][28+41n][6+10n][39+58n][37+55n][35+51n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-46-39-52-47-18-24-32-65-42-56-30-40-31-19-3-4-50-22-7-54-5-29-61-59-34-23-53-26-57-9-12-16===66-21-28-15-20-49-43-35-2-25-11-37-27-36-48-64-63-17-45-60-13-62-38-6-8-33-44-14-41-10-58-55-51

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 46 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 51+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 51+67n. La série est alors :

1-51-55-58-10-41-14-44-33-8-6-38-62-13-60-45-17-63-64-48-36-27-37-11-25-2-35-43-49-20-15-28-21===66-16-12-9-57-26-53-23-34-59-61-29-5-54-7-22-50-4-3-19-31-40-30-56-42-65-32-24-18-47-52-39-46

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 46+67n.

Calculons 1/67 en base : 51, 118, 185, ...(51+67n) :

1/67 en base 51 = 0,0-38-41-44-7-31-10-33-25-6-4-28-47-9-45-34-12-47-48-36-27-20-28-8-19-1-26-32-37-15-11-21-15===50-12-9-6-43-19-40-17-25-44-46-22-3-41-5-16-38-3-2-14-23-30-22-42-31-49-24-18-13-35-39-29-35...

1/67 en base 118 = 0,1-89-96-102-17-72-24-77-58-14-10-66-109-22-105-79-29-110-112-84-63-47-65-19-44-3-61-75-86-35-26-49-36===116-28-21-15-100-45-93-40-59-103-107-51-8-95-12-38-88-7-5-33-54-70-52-98-73-114-56-42-31-82-91-68-81...

1/67 en base 185 = 0,2-140-151-160-27-113-38-121-91-22-16-104-171-35-165-124-46-173-176-132-99-74-102-30-69-5-96-118-135-55-41-77-57===182-44-33-24-157-71-146-63-93-162-168-80-13-149-19-60-138-11-8-52-85-110-82-154-115-179-88-66-49-129-143-107-127...

Et de manière générale en base 51+67n :

[n][38+51n][41+55n][44+58n][7+10n][31+41n][10+14n][33+44n][25+33n][6+8n][4+6n][28+38n][47+62n][9+13n][45+60n][34+45n][12+17n][47+63n][48+64n][36+48n][27+36n][20+27n][28+37n][8+11n][19+25n][1+2n][26+35n][32+43n][37+49n][15+20n][11+15n][21+28n][15+21n]===[50+66n][12+16n][9+12n][6+9n][43+57n][19+26n][40+53n][17+23n][25+34n][44+59n][46+61n][22+29n][3+5n][41+54n][5+7n][16+22n][38+50n][3+4n][2+3n][14+19n][23+31n][30+40n][22+30n][42+56n][31+42n][49+65n][24+32n][18+24n][13+18n][35+47n][39+52n][29+39n][35+46n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-51-55-58-10-41-14-44-33-8-6-38-62-13-60-45-17-63-64-48-36-27-37-11-25-2-35-43-49-20-15-28-21===66-16-12-9-57-26-53-23-34-59-61-29-5-54-7-22-50-4-3-19-31-40-30-56-42-65-32-24-18-47-52-39-46

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 51 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 46+67n.

Constatons que 46x51 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67