Pourquoi les périodes de n/67 en base 50+67n se regroupent elles en cette série ?

1-50-21-45-39-7-15-13-47-5-49-38-24-61-35-8-65-34-25-44-56-53-37-41-40-57-36-58-19-12-64-51-4===66-17-46-22-28-60-52-54-20-62-18-29-43-6-32-59-2-33-42-23-11-14-30-26-27-10-31-9-48-55-3-16-63

Calculons 1/67 en base 50+67n (50, 117, 184, ...) :

1/67 en base 50 = 0,0-37-15-33-29-5-11-9-35-3-36-28-17-45-26-5-48-25-18-32-41-39-27-30-29-42-26-43-14-8-47-38-2===49-12-34-16-20-44-38-40-14-46-13-21-32-4-23-44-1-24-31-17-8-10-22-19-20-7-23-6-35-41-2-11-47...

1/67 en base 117 = 0,1-87-36-78-68-12-26-22-82-8-85-66-41-106-61-13-113-59-43-76-97-92-64-71-69-99-62-101-33-20-111-89-6===115-29-80-38-48-104-90-94-34-108-31-50-75-10-55-103-3-57-73-40-19-24-52-45-47-17-54-15-83-96-5-27-110...

1/67 en base 184 = 0,2-137-57-123-107-19-41-35-129-13-134-104-65-167-96-21-178-93-68-120-153-145-101-112-109-156-98-159-52-32-175-140-10===181-46-126-60-76-164-142-148-54-170-49-79-118-16-87-162-5-90-115-63-30-38-82-71-74-27-85-24-131-151-8-43-173...

Et de manière générale en base 50+67n :

[n][37+50n][15+21n][33+45n][29+39n][5+7n][11+15n][9+13n][35+47n][3+5n][36+49n][28+38n][17+24n][45+61n][26+35n][5+8n][48+65n][25+34n][18+25n][32+44n][41+56n][39+53n][27+37n][30+41n][29+40n][42+57n][26+36n][43+58n][14+19n][8+12n][47+64n][38+51n][2+4n]===[49+66n][12+17n][34+46n][16+22n][20+28n][44+60n][38+52n][40+54n][14+20n][46+62n][13+18n][21+29n][32+43n][4+6n][23+32n][44+59n][1+2n][24+33n][31+42n][17+23n][8+11n][10+14n][22+30n][19+26n][20+27n][7+10n][23+31n][6+9n][35+48n][41+55n][2+3n][11+16n][47+63n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-50-21-45-39-7-15-13-47-5-49-38-24-61-35-8-65-34-25-44-56-53-37-41-40-57-36-58-19-12-64-51-4===66-17-46-22-28-60-52-54-20-62-18-29-43-6-32-59-2-33-42-23-11-14-30-26-27-10-31-9-48-55-3-16-63

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 50 modulo 67 

Calcul de 1/67 en base 63+67n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 63+67n. La série est alors :

1-63-16-3-55-48-9-31-10-27-26-30-14-11-23-42-33-2-59-32-6-43-29-18-62-20-54-52-60-28-22-46-17===66-4-51-64-12-19-58-36-57-40-41-37-53-56-44-25-34-65-8-35-61-24-38-49-5-47-13-15-7-39-45-21-50

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 50+67n.

Calculons 1/67 en base : 63, 130, 197, ...(63+67n) :

1/67 en base 63 = 0,0-59-15-2-51-45-8-29-9-25-24-28-13-10-21-39-31-1-55-30-5-40-27-16-58-18-50-48-56-26-20-43-15===62-3-47-60-11-17-54-33-53-37-38-34-49-52-41-23-31-61-7-32-57-22-35-46-4-44-12-14-6-36-42-19-47...

1/67 en base 130 = 0,1-122-31-5-106-93-17-60-19-52-50-58-27-21-44-81-64-3-114-62-11-83-56-34-120-38-104-100-116-54-42-89-32===128-7-98-124-23-36-112-69-110-77-79-71-102-108-85-48-65-126-15-67-118-46-73-95-9-91-25-29-13-75-87-40-97...

1/67 en base 197 = 0,2-185-47-8-161-141-26-91-29-79-76-88-41-32-67-123-97-5-173-94-17-126-85-52-182-58-158-152-176-82-64-135-49===194-11-149-188-35-55-170-105-167-117-120-108-155-164-129-73-99-191-23-102-179-70-111-144-14-138-38-44-20-114-132-61-147...

Et de manière générale en base 63+67n :

[n][59+63n][15+16n][2+3n][51+55n][45+48n][8+9n][29+31n][9+10n][25+27n][24+26n][28+30n][13+14n][10+11n][21+23n][39+42n][31+33n][1+2n][55+59n][30+32n][5+6n][40+43n][27+29n][16+18n][58+62n][18+20n][50+54n][48+52n][56+60n][26+28n][20+22n][43+46n][15+17n]===[62+66n][3+4n][47+51n][60+64n][11+12n][17+19n][54+58n][33+36n][53+57n][37+40n][38+41n][34+37n][49+53n][52+56n][41+44n][23+25n][31+34n][61+65n][7+8n][32+35n][57+61n][22+24n][35+38n][46+49n][4+5n][44+47n][12+13n][14+15n][6+7n][36+39n][42+45n][19+21n][47+50n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-63-16-3-55-48-9-31-10-27-26-30-14-11-23-42-33-2-59-32-6-43-29-18-62-20-54-52-60-28-22-46-17===66-4-51-64-12-19-58-36-57-40-41-37-53-56-44-25-34-65-8-35-61-24-38-49-5-47-13-15-7-39-45-21-50

Qui partage le cercle en 67 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 63 modulo 67 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 50+67n.

Constatons que 50x63 admet 1 pour reste dans la division par 67 et qu'ils sont alors inverses dans Z67