Calcul de 1/71 en base 7+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 7+71n se regroupent elles en cette série ?

1-7-49-59-58-51-2-14-27-47-45-31-4-28-54-23-19-62-8-56-37-46-38-53-16-41-3-21-5-35-32-11-6-42-10===70-64-22-12-13-20-69-57-44-24-26-40-67-43-17-48-52-9-63-15-34-25-33-18-55-30-68-50-66-36-39-60-65-29-61

Calculons 1/71 en base 7+71n (7, 78, 149, ...) :

1/71 en base 7 = 0,00455501244302521605343514020331040===66211165422364145061323152646335626...

1/71 en base 78 = 0,1-7-53-64-63-56-2-15-29-51-49-34-4-30-59-25-20-68-8-61-40-50-41-58-17-45-3-23-5-38-35-12-6-46-10===76-70-24-13-14-21-75-62-48-26-28-43-73-47-18-52-57-9-69-16-37-27-36-19-60-32-74-54-72-39-42-65-71-31-67...

1/71 en base 149 = 0,2-14-102-123-121-107-4-29-56-98-94-65-8-58-113-48-39-130-16-117-77-96-79-111-33-86-6-44-10-73-67-23-12-88-20===146-134-46-25-27-41-144-119-92-50-54-83-140-90-35-100-109-18-132-31-71-52-69-37-115-62-142-104-138-75-81-125-136-60-128...

Et de manière générale en base 7+71n :

[n][7n][4+49n][5+59n][5+58n][5+51n][2n][1+14n][2+27n][4+47n][4+45n][3+31n][4n][2+28n][5+54n][2+23n][1+19n][6+62n][8n][5+56n][3+37n][4+46n][3+38n][5+53n][1+16n][4+41n][3n][2+21n][5n][3+35n][3+32n][1+11n][6n][4+42n][10n]===[6+70n][6+64n][2+22n][1+12n][1+13n][1+20n][6+69n][5+57n][4+44n][2+24n][2+26n][3+40n][6+67n][4+43n][1+17n][4+48n][5+52n][9n][6+63n][1+15n][3+34n][2+25n][3+33n][1+18n][5+55n][2+30n][6+68n][4+50n][6+66n][3+36n][3+39n][5+60n][6+65n][2+29n][6+61n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 61+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 61+71n. La série est alors :

1-61-29-65-60-39-36-66-50-68-30-55-18-33-25-34-15-63-9-52-48-17-43-67-40-26-24-44-57-69-20-13-12-22-64===70-10-42-6-11-32-35-5-21-3-41-16-53-38-46-37-56-8-62-19-23-54-28-4-31-45-47-27-14-2-51-58-59-49-7

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+71n.

Calculons 1/71 en base : 61, 132, 203, ...(61+71n) :

1/71 en base 61 = 0,0-52-24-55-51-33-30-56-42-58-25-47-15-28-21-29-12-54-7-44-41-14-36-57-34-22-20-37-48-59-17-11-10-18-54===60-8-36-5-9-27-30-4-18-2-35-13-45-32-39-31-48-6-53-16-19-46-24-3-26-38-40-23-12-1-43-49-50-42-6...

1/71 en base 132 = 0,1-113-53-120-111-72-66-122-92-126-55-102-33-61-46-63-27-117-16-96-89-31-79-124-74-48-44-81-105-128-37-24-22-40-118===130-18-78-11-20-59-65-9-39-5-76-29-98-70-85-68-104-14-115-35-42-100-52-7-57-83-87-50-26-3-94-107-109-91-13...

1/71 en base 203 = 0,2-174-82-185-171-111-102-188-142-194-85-157-51-94-71-97-42-180-25-148-137-48-122-191-114-74-68-125-162-197-57-37-34-62-182===200-28-120-17-31-91-100-14-60-8-117-45-151-108-131-105-160-22-177-54-65-154-80-11-88-128-134-77-40-5-145-165-168-140-20...

Et de manière générale en base 61+71n :

[n][52+61n][24+29n][55+65n][51+60n][33+39n][30+36n][56+66n][42+50n][58+68n][25+30n][47+55n][15+18n][28+33n][21+25n][29+34n][12+15n][54+63n][7+9n][44+52n][41+48n][14+17n][36+43n][57+67n][34+40n][22+26n][20+24n][37+44n][48+57n][59+69n][17+20n][11+13n][10+12n][18+22n][54+64n]===[60+70n][8+10n][36+42n][5+6n][9+11n][27+32n][30+35n][4+5n][18+21n][2+3n][35+41n][13+16n][45+53n][32+38n][39+46n][31+37n][48+56n][6+8n][53+62n][16+19n][19+23n][46+54n][24+28n][3+4n][26+31n][38+45n][40+47n][23+27n][12+14n][1+2n][43+51n][49+58n][50+59n][42+49n][6+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 61 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+71n.

Constatons que 7x61 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71