Calcul de 1/71 en base 11+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 11+71n se regroupent elles en cette série ?

1-11-50-53-15-23-40-14-12-61-32-68-38-63-54-26-2-22-29-35-30-46-9-28-24-51-64-65-5-55-37-52-4-44-58===70-60-21-18-56-48-31-57-59-10-39-3-33-8-17-45-69-49-42-36-41-25-62-43-47-20-7-6-66-16-34-19-67-27-13

Calculons 1/71 en base 11+71n (11, 82, 153, ...) :

1/71 en base 11 = 0,0-1-7-8-2-3-6-2-1-9-4-10-5-9-8-4-0-3-4-5-4-7-1-4-3-7-9-10-0-8-5-8-0-6-8===10-9-3-2-8-7-4-8-9-1-6-0-5-1-2-6-10-7-6-5-6-3-9-6-7-3-1-0-10-2-5-2-10-4-2...

1/71 en base 82 = 0,1-12-57-61-17-26-46-16-13-70-36-78-43-72-62-30-2-25-33-40-34-53-10-32-27-58-73-75-5-63-42-60-4-50-66===80-69-24-20-64-55-35-65-68-11-45-3-38-9-19-51-79-56-48-41-47-28-71-49-54-23-8-6-76-18-39-21-77-31-15...

1/71 en base 153 = 0,2-23-107-114-32-49-86-30-25-131-68-146-81-135-116-56-4-47-62-75-64-99-19-60-51-109-137-140-10-118-79-112-8-94-124===150-129-45-38-120-103-66-122-127-21-84-6-71-17-36-96-148-105-90-77-88-53-133-92-101-43-15-12-142-34-73-40-144-58-28...

Et de manière générale en base 11+71n :

[n][1+11n][7+50n][8+53n][2+15n][3+23n][6+40n][2+14n][1+12n][9+61n][4+32n][10+68n][5+38n][9+63n][8+54n][4+26n][2n][3+22n][4+29n][5+35n][4+30n][7+46n][1+9n][4+28n][3+24n][7+51n][9+64n][10+65n][5n][8+55n][5+37n][8+52n][4n][6+44n][8+58n]===[10+70n][9+60n][3+21n][2+18n][8+56n][7+48n][4+31n][8+57n][9+59n][1+10n][6+39n][3n][5+33n][1+8n][2+17n][6+45n][10+69n][7+49n][6+42n][5+36n][6+41n][3+25n][9+62n][6+43n][7+47n][3+20n][1+7n][6n][10+66n][2+16n][5+34n][2+19n][10+67n][4+27n][2+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 13+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 13+71n. La série est alors :

1-13-27-67-19-34-16-66-6-7-20-47-43-62-25-41-36-42-49-69-45-17-8-33-3-39-10-59-57-31-48-56-18-21-60===70-58-44-4-52-37-55-5-65-64-51-24-28-9-46-30-35-29-22-2-26-54-63-38-68-32-61-12-14-40-23-15-53-50-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+71n.

Calculons 1/71 en base : 13, 84, 155, ...(13+71n) :

1/71 en base 13 = 0,0-2-4-12-3-6-2-12-1-1-3-8-7-11-4-7-6-7-8-12-8-3-1-6-0-7-1-10-10-5-8-10-3-3-10===12-10-8-0-9-6-10-0-11-11-9-4-5-1-8-5-6-5-4-0-4-9-11-6-12-5-11-2-2-7-4-2-9-9-2...

1/71 en base 84 = 0,1-15-31-79-22-40-18-78-7-8-23-55-50-73-29-48-42-49-57-81-53-20-9-39-3-46-11-69-67-36-56-66-21-24-70===82-68-52-4-61-43-65-5-76-75-60-28-33-10-54-35-41-34-26-2-30-63-74-44-80-37-72-14-16-47-27-17-62-59-13...

1/71 en base 155 = 0,2-28-58-146-41-74-34-144-13-15-43-102-93-135-54-89-78-91-106-150-98-37-17-72-6-85-21-128-124-67-104-122-39-45-130===152-126-96-8-113-80-120-10-141-139-111-52-61-19-100-65-76-63-48-4-56-117-137-82-148-69-133-26-30-87-50-32-115-109-24...

Et de manière générale en base 13+71n :

[n][2+13n][4+27n][12+67n][3+19n][6+34n][2+16n][12+66n][1+6n][1+7n][3+20n][8+47n][7+43n][11+62n][4+25n][7+41n][6+36n][7+42n][8+49n][12+69n][8+45n][3+17n][1+8n][6+33n][3n][7+39n][1+10n][10+59n][10+57n][5+31n][8+48n][10+56n][3+18n][3+21n][10+60n]===[12+70n][10+58n][8+44n][4n][9+52n][6+37n][10+55n][5n][11+65n][11+64n][9+51n][4+24n][5+28n][1+9n][8+46n][5+30n][6+35n][5+29n][4+22n][2n][4+26n][9+54n][11+63n][6+38n][12+68n][5+32n][11+61n][2+12n][2+14n][7+40n][4+23n][2+15n][9+53n][9+50n][2+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+71n.

Constatons que 11x13 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71