Calcul de 1/71 en base 21+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 21+71n se regroupent elles en cette série ?

1-21-15-31-12-39-38-17-2-42-30-62-24-7-5-34-4-13-60-53-48-14-10-68-8-26-49-35-25-28-20-65-16-52-27===70-50-56-40-59-32-33-54-69-29-41-9-47-64-66-37-67-58-11-18-23-57-61-3-63-45-22-36-46-43-51-6-55-19-44

Calculons 1/71 en base 21+71n (21, 92, 163, ...) :

1/71 en base 21 = 0,0-6-4-9-3-11-11-5-0-12-8-18-7-2-1-10-1-3-17-15-14-4-2-20-2-7-14-10-7-8-5-19-4-15-7===20-14-16-11-17-9-9-15-20-8-12-2-13-18-19-10-19-17-3-5-6-16-18-0-18-13-6-10-13-12-15-1-16-5-13...

1/71 en base 92 = 0,1-27-19-40-15-50-49-22-2-54-38-80-31-9-6-44-5-16-77-68-62-18-12-88-10-33-63-45-32-36-25-84-20-67-34===90-64-72-51-76-41-42-69-89-37-53-11-60-82-85-47-86-75-14-23-29-73-79-3-81-58-28-46-59-55-66-7-71-24-57...

1/71 en base 163 = 0,2-48-34-71-27-89-87-39-4-96-68-142-55-16-11-78-9-29-137-121-110-32-22-156-18-59-112-80-57-64-45-149-36-119-61===160-114-128-91-135-73-75-123-158-66-94-20-107-146-151-84-153-133-25-41-52-130-140-6-144-103-50-82-105-98-117-13-126-43-101...

Et de manière générale en base 21+71n :

[n][6+21n][4+15n][9+31n][3+12n][11+39n][11+38n][5+17n][2n][12+42n][8+30n][18+62n][7+24n][2+7n][1+5n][10+34n][1+4n][3+13n][17+60n][15+53n][14+48n][4+14n][2+10n][20+68n][2+8n][7+26n][14+49n][10+35n][7+25n][8+28n][5+20n][19+65n][4+16n][15+52n][7+27n]===[20+70n][14+50n][16+56n][11+40n][17+59n][9+32n][9+33n][15+54n][20+69n][8+29n][12+41n][2+9n][13+47n][18+64n][19+66n][10+37n][19+67n][17+58n][3+11n][5+18n][6+23n][16+57n][18+61n][3n][18+63n][13+45n][6+22n][10+36n][13+46n][12+43n][15+51n][1+6n][16+55n][5+19n][13+44n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 21 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 44+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 44+71n. La série est alors :

1-44-19-55-6-51-43-46-36-22-45-63-3-61-57-23-18-11-58-67-37-66-64-47-9-41-29-69-54-33-32-59-40-56-50===70-27-52-16-65-20-28-25-35-49-26-8-68-10-14-48-53-60-13-4-34-5-7-24-62-30-42-2-17-38-39-12-31-15-21

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 21+71n.

Calculons 1/71 en base : 44, 115, 186, ...(44+71n) :

1/71 en base 44 = 0,0-27-11-34-3-31-26-28-22-13-27-39-1-37-35-14-11-6-35-41-22-40-39-29-5-25-17-42-33-20-19-36-24-34-30===43-16-32-9-40-12-17-15-21-30-16-4-42-6-8-29-32-37-8-2-21-3-4-14-38-18-26-1-10-23-24-7-19-9-13...

1/71 en base 115 = 0,1-71-30-89-9-82-69-74-58-35-72-102-4-98-92-37-29-17-93-108-59-106-103-76-14-66-46-111-87-53-51-95-64-90-80===113-43-84-25-105-32-45-40-56-79-42-12-110-16-22-77-85-97-21-6-55-8-11-38-100-48-68-3-27-61-63-19-50-24-34...

1/71 en base 186 = 0,2-115-49-144-15-133-112-120-94-57-117-165-7-159-149-60-47-28-151-175-96-172-167-123-23-107-75-180-141-86-83-154-104-146-130===183-70-136-41-170-52-73-65-91-128-68-20-178-26-36-125-138-157-34-10-89-13-18-62-162-78-110-5-44-99-102-31-81-39-55...

Et de manière générale en base 44+71n :

[n][27+44n][11+19n][34+55n][3+6n][31+51n][26+43n][28+46n][22+36n][13+22n][27+45n][39+63n][1+3n][37+61n][35+57n][14+23n][11+18n][6+11n][35+58n][41+67n][22+37n][40+66n][39+64n][29+47n][5+9n][25+41n][17+29n][42+69n][33+54n][20+33n][19+32n][36+59n][24+40n][34+56n][30+50n]===[43+70n][16+27n][32+52n][9+16n][40+65n][12+20n][17+28n][15+25n][21+35n][30+49n][16+26n][4+8n][42+68n][6+10n][8+14n][29+48n][32+53n][37+60n][8+13n][2+4n][21+34n][3+5n][4+7n][14+24n][38+62n][18+30n][26+42n][1+2n][10+17n][23+38n][24+39n][7+12n][19+31n][9+15n][13+21n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 44 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 21+71n.

Constatons que 21x44 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71