Calcul de 1/71 en base 22+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 22+71n se regroupent elles en cette série ?

1-22-58-69-27-26-4-17-19-63-37-33-16-68-5-39-6-61-64-59-20-14-24-31-43-23-9-56-25-53-30-21-36-11-29===70-49-13-2-44-45-67-54-52-8-34-38-55-3-66-32-65-10-7-12-51-57-47-40-28-48-62-15-46-18-41-50-35-60-42

Calculons 1/71 en base 22+71n (22, 93, 164, ...) :

1/71 en base 22 = 0,0-6-17-21-8-8-1-5-5-19-11-10-4-21-1-12-1-18-19-18-6-4-7-9-13-7-2-17-7-16-9-6-11-3-8===21-15-4-0-13-13-20-16-16-2-10-11-17-0-20-9-20-3-2-3-15-17-14-12-8-14-19-4-14-5-12-15-10-18-13...

1/71 en base 93 = 0,1-28-75-90-35-34-5-22-24-82-48-43-20-89-6-51-7-79-83-77-26-18-31-40-56-30-11-73-32-69-39-27-47-14-37===91-64-17-2-57-58-87-70-68-10-44-49-72-3-86-41-85-13-9-15-66-74-61-52-36-62-81-19-60-23-53-65-45-78-55...

1/71 en base 164 = 0,2-50-133-159-62-60-9-39-43-145-85-76-36-157-11-90-13-140-147-136-46-32-55-71-99-53-20-129-57-122-69-48-83-25-66===161-113-30-4-101-103-154-124-120-18-78-87-127-6-152-73-150-23-16-27-117-131-108-92-64-110-143-34-106-41-94-115-80-138-97...

Et de manière générale en base 22+71n :

[n][6+22n][17+58n][21+69n][8+27n][8+26n][1+4n][5+17n][5+19n][19+63n][11+37n][10+33n][4+16n][21+68n][1+5n][12+39n][1+6n][18+61n][19+64n][18+59n][6+20n][4+14n][7+24n][9+31n][13+43n][7+23n][2+9n][17+56n][7+25n][16+53n][9+30n][6+21n][11+36n][3+11n][8+29n]===[21+70n][15+49n][4+13n][2n][13+44n][13+45n][20+67n][16+54n][16+52n][2+8n][10+34n][11+38n][17+55n][3n][20+66n][9+32n][20+65n][3+10n][2+7n][3+12n][15+51n][17+57n][14+47n][12+40n][8+28n][14+48n][19+62n][4+15n][14+46n][5+18n][12+41n][15+50n][10+35n][18+60n][13+42n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 22 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 42+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 42+71n. La série est alors :

1-42-60-35-50-41-18-46-15-62-48-28-40-47-57-51-12-7-10-65-32-66-3-55-38-34-8-52-54-67-45-44-2-13-49===70-29-11-36-21-30-53-25-56-9-23-43-31-24-14-20-59-64-61-6-39-5-68-16-33-37-63-19-17-4-26-27-69-58-22

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 22+71n.

Calculons 1/71 en base : 42, 113, 184, ...(42+71n) :

1/71 en base 42 = 0,0-24-35-20-29-24-10-27-8-36-28-16-23-27-33-30-7-4-5-38-18-39-1-32-22-20-4-30-31-39-26-26-1-7-28===41-17-6-21-12-17-31-14-33-5-13-25-18-14-8-11-34-37-36-3-23-2-40-9-19-21-37-11-10-2-15-15-40-34-13...

1/71 en base 113 = 0,1-66-95-55-79-65-28-73-23-98-76-44-63-74-90-81-19-11-15-103-50-105-4-87-60-54-12-82-85-106-71-70-3-20-77===111-46-17-57-33-47-84-39-89-14-36-68-49-38-22-31-93-101-97-9-62-7-108-25-52-58-100-30-27-6-41-42-109-92-35...

1/71 en base 184 = 0,2-108-155-90-129-106-46-119-38-160-124-72-103-121-147-132-31-18-25-168-82-171-7-142-98-88-20-134-139-173-116-114-5-33-126===181-75-28-93-54-77-137-64-145-23-59-111-80-62-36-51-152-165-158-15-101-12-176-41-85-95-163-49-44-10-67-69-178-150-57...

Et de manière générale en base 42+71n :

[n][24+42n][35+60n][20+35n][29+50n][24+41n][10+18n][27+46n][8+15n][36+62n][28+48n][16+28n][23+40n][27+47n][33+57n][30+51n][7+12n][4+7n][5+10n][38+65n][18+32n][39+66n][1+3n][32+55n][22+38n][20+34n][4+8n][30+52n][31+54n][39+67n][26+45n][26+44n][1+2n][7+13n][28+49n]===[41+70n][17+29n][6+11n][21+36n][12+21n][17+30n][31+53n][14+25n][33+56n][5+9n][13+23n][25+43n][18+31n][14+24n][8+14n][11+20n][34+59n][37+64n][36+61n][3+6n][23+39n][2+5n][40+68n][9+16n][19+33n][21+37n][37+63n][11+19n][10+17n][2+4n][15+26n][15+27n][40+69n][34+58n][13+22n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 42 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 22+71n.

Constatons que 22x42 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71