Calcul de 1/71 en base 28+71n.

Pourquoi les périodes de n/71 en base 28+71n se regroupent elles en cette série ?

1-28-3-13-9-39-27-46-10-67-30-59-19-35-57-34-29-31-16-22-48-66-2-56-6-26-18-7-54-21-20-63-60-47-38===70-43-68-58-62-32-44-25-61-4-41-12-52-36-14-37-42-40-55-49-23-5-69-15-65-45-53-64-17-50-51-8-11-24-33

Calculons 1/71 en base 28+71n (28, 99, 170, ...) :

1/71 en base 28 = 0,0-11-1-5-3-15-10-18-3-26-11-23-7-13-22-13-11-12-6-8-18-26-0-22-2-10-7-2-21-8-7-24-23-18-14===27-16-26-22-24-12-17-9-24-1-16-4-20-14-5-14-16-15-21-19-9-1-27-5-25-17-20-25-6-19-20-3-4-9-13...

1/71 en base 99 = 0,1-39-4-18-12-54-37-64-13-93-41-82-26-48-79-47-40-43-22-30-66-92-2-78-8-36-25-9-75-29-27-87-83-65-52===97-59-94-80-86-44-61-34-85-5-57-16-72-50-19-51-58-55-76-68-32-6-96-20-90-62-73-89-23-69-71-11-15-33-46...

1/71 en base 170 = 0,2-67-7-31-21-93-64-110-23-160-71-141-45-83-136-81-69-74-38-52-114-158-4-134-14-62-43-16-129-50-47-150-143-112-90===167-102-162-138-148-76-105-59-146-9-98-28-124-86-33-88-100-95-131-117-55-11-165-35-155-107-126-153-40-119-122-19-26-57-79...

Et de manière générale en base 28+71n :

[n][11+28n][1+3n][5+13n][3+9n][15+39n][10+27n][18+46n][3+10n][26+67n][11+30n][23+59n][7+19n][13+35n][22+57n][13+34n][11+29n][12+31n][6+16n][8+22n][18+48n][26+66n][2n][22+56n][2+6n][10+26n][7+18n][2+7n][21+54n][8+21n][7+20n][24+63n][23+60n][18+47n][14+38n]===[27+70n][16+43n][26+68n][22+58n][24+62n][12+32n][17+44n][9+25n][24+61n][1+4n][16+41n][4+12n][20+52n][14+36n][5+14n][14+37n][16+42n][15+40n][21+55n][19+49n][9+23n][1+5n][27+69n][5+15n][25+65n][17+45n][20+53n][25+64n][6+17n][19+50n][20+51n][3+8n][4+11n][9+24n][13+33n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 28 modulo 71

Calcul de 1/71 en base 33+71n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 33+71n. La série est alors :

1-33-24-11-8-51-50-17-64-53-45-65-15-69-5-23-49-55-40-42-37-14-36-52-12-41-4-61-25-44-32-62-58-68-43===70-38-47-60-63-20-21-54-7-18-26-6-56-2-66-48-22-16-31-29-34-57-35-19-59-30-67-10-46-27-39-9-13-3-28

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 28+71n.

Calculons 1/71 en base : 33, 104, 175, ...(33+71n) :

1/71 en base 33 = 0,0-15-11-5-3-23-23-7-29-24-20-30-6-32-2-10-22-25-18-19-17-6-16-24-5-19-1-28-11-20-14-28-26-31-19===32-17-21-27-29-9-9-25-3-8-12-2-26-0-30-22-10-7-14-13-15-26-16-8-27-13-31-4-21-12-18-4-6-1-13...

1/71 en base 104 = 0,1-48-35-16-11-74-73-24-93-77-65-95-21-101-7-33-71-80-58-61-54-20-52-76-17-60-5-89-36-64-46-90-84-99-62===102-55-68-87-92-29-30-79-10-26-38-8-82-2-96-70-32-23-45-42-49-83-51-27-86-43-98-14-67-39-57-13-19-4-41...

1/71 en base 175 = 0,2-81-59-27-19-125-123-41-157-130-110-160-36-170-12-56-120-135-98-103-91-34-88-128-29-101-9-150-61-108-78-152-142-167-105===172-93-115-147-155-49-51-133-17-44-64-14-138-4-162-118-54-39-76-71-83-140-86-46-145-73-165-24-113-66-96-22-32-7-69...

Et de manière générale en base 33+71n :

[n][15+33n][11+24n][5+11n][3+8n][23+51n][23+50n][7+17n][29+64n][24+53n][20+45n][30+65n][6+15n][32+69n][2+5n][10+23n][22+49n][25+55n][18+40n][19+42n][17+37n][6+14n][16+36n][24+52n][5+12n][19+41n][1+4n][28+61n][11+25n][20+44n][14+32n][28+62n][26+58n][31+68n][19+43n]===[32+70n][17+38n][21+47n][27+60n][29+63n][9+20n][9+21n][25+54n][3+7n][8+18n][12+26n][2+6n][26+56n][2n][30+66n][22+48n][10+22n][7+16n][14+31n][13+29n][15+34n][26+57n][16+35n][8+19n][27+59n][13+30n][31+67n][4+10n][21+46n][12+27n][18+39n][4+9n][6+13n][1+3n][13+28n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 71 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 33 modulo 71

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 28+71n.

Constatons que 28x33 admet 1 pour reste dans la division par 71 et qu'ils sont alors inverses dans Z71